Y ( s )
k g ( s zi )
i 1
m
( s p j ) ( s 2 2 l nl s nl )
2 j 1 l 1
n1
n2
部分分式展开得： 2 n n Aj Bl ( s l nl ) Cl nl 1 l Y ( s ) 2 s p j l 1 s 2 2 l nl s nl j 1 单位脉冲响应为：
第五章 系统的稳定性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
s5 s
4
1 2 0 .5 9 32 9 5
1 3 1 .5 5 0 0
4 5 0 0 0 0
s3 s2 s s
1 0
-1
3 0（ 2） 0（
9 32
1 0
）
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。导致 劳斯阵下一列无法计算。 [处理办法]：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此 计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或 下项的符号相反，计作一次符号变化。
稳定的定义
定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果 线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后， 随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向 于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之， 若在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散， 则称系统不稳定。 该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变 化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳定 的。
Y ( s )
k g ( s zi )
i 1
m
( s p j ) ( s 2 2 l nl s nl )
2 j 1 l 1
n1
n2
线性控制系统稳定的充分必要条件 下面讨论系统稳定性与系统极点之间的关系: 由于系统的输入为单位脉冲信号 R ( s ) 1 ，则系统的输出为：
b1

an 1
an an 1 an 1
an an 1 an 1 an 6 an 7
an 1an 2 an an 3 an 1
s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s1 s
0
f1 g1
b3
an 1an 6 an an 7 an 1
且a1a 2 a3 a0 0
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论： 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论； 劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列第一 列系数符号改变的次数。 [例]：系统的特征方程为： 5 2 s 4 s 3 3s 2 4 s 5 0 s
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用， 但对线性定常系统来说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输 入－有界输出的意义下，系统稳定与否完全取决于系统本身的 结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无 关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。
线性控制系统稳定的充分必要条件 两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。 由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初 始条件为零，输入作用为单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出便 是单位脉冲响应 y (t ) 。这相当于在扰动信号作用下，输出信号 偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳定性定 义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态 lim ，即： y (t ) 0 则线性控制系统是稳定的。 t
s n 3 c1 s n 4 d1 s1 s0
f1 g1
c3
an 1 b1 b1
an 7 b4 b1an 7 b4 an 1 b1
c1b2 b1c2 d1 c1
c1b3 b1c3 d2 c1
c1b4 b1c4 d3 c1
依次类推。可求得 ei , f i , g i ,...( i 1,2,...)
稳定的定义
定义二：在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output) 意义下的稳定性定义。若线性系统在有界的输入量或干扰量的 作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的，否 则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不 稳定的。
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系 统的行为。
劳斯判据
sn s s
n 1 n2
an a n 1 b1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3

c1 c2
an 1 b1 b1 an 1 b1 b1
an 3 b2 an 5 b3 b1an 5 b3 an 1 b1 b1an 3 b2 an 1 b1
Re
例子： 闭环传递函数为： ( s ) 系统是稳定的。 因为该系统的闭环极点 s1 1， s2 2 都在s左半平面。
2( s 1) ( s 1)( s 2)
闭环传递函数为： ( s 1)( s 3)( s 4) 的系统是不稳定的，因为 s 3 为正实数极点，位于 s 右半平面，与此相对应的时间响应 分量按 e 3t 的规律随时间无限增大。
劳斯判据例子
[例]：特征方程为： 3 s 3 a 2 s 2 a1 s a0 0 ，试判断稳定性。 a [解]：劳斯阵为： 3 s
s2 s1 s0
a3 a2 a 2 a1 a3 a 0 a2 a0 a1 a0 0 0
稳定的充要条件为： a3 , a 2 , a1 , a0 均大于零
1 2
y ( t ) A j e
j 1
n1
p jt
Bl e
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t C l e l nl t sin nl 1 l t， t 0
2 2 l 1
n2
可见，若 lim y (t ) 0 ，则式中 p j和 l nl 应该为负数。而 p j 和 l nl t 分别为系统的实数极点和共轭复数极点的实部，表明若要使单 位脉冲响应收敛于零，系统的极点均应有负的实部。则线性系 统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须位于 s 左半平面。
其中，pi(i=0,1,2,…,n)为系统的特征根。
由根与系数的关系可以求得：
n a1 a ( p1 p 2 p n )＝ p i i 1 0 n a2 ( p1 p 2 p1 p3 p n 1 p n ) p i p j i 1, j 2 a0 a 3 ( p1 p 2 p3 p1 p 2 p 4 p n 2 p n 1 p n ) a0 a n ( 1) n ( p1 p 2 p n ) a0
特征方程的全部系数为正值；
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列也为正。
劳斯阵如右：
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s a n 1 s b1 s c1 s d1 s g1
an2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3

劳斯阵的前两行由特 征方程的系数组成。 第一行为1，3， 5，…第二行为2，4， 6，…项系数。

系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复 根，则其脉冲响应函数就呈发散形式，系统不可能再回到原来 的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。也就是说，对于不 稳定系统，特征方程至少有一个根位于s 右半平面，在这种情况 下，系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对 共轭根在虚轴( j ) 上，而其它根均位于s 左半平面，这样的系统称 为临界稳定系统，临界稳定系统的输出根据输入的不同，或等 幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定 系统。
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部。 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间 单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是 发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。
(s)
10 ( s 2)
闭环传递函数为： s 2 1 的系统是临界稳定系统，它有一对 虚轴上的闭环极点 s1, 2 j ，其零输入响应为频率 1的等幅 振荡，因此在工程上认为该系统不稳定。
(s)
1
稳定的充要条件和属性
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无 关。 a0 对于一阶系统， 1 s a 0 0, s , 只要 a 0 , a1都大于零， a a1 系统是稳定的。 a1 a12 4 a 2 a 0 a 对于二阶系统， 2 s 2 a1 s a 0 0, s1, 2 2a2 只有 a 0 , a1 , a 2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 特征方程的系数同号是系统稳定的必要条件。若特征方程 的系数不同号或有缺项，则系统不稳定。应此对于特征方程系 数同号的系统，还要通过特征根来判断系统的稳定性。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。