可得：
y
y
f
(x1, x2,..., xn )
f
x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
得到
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
函数标准差计算
2
2
y2
f x1
2 x1
f x2
2 x2
f xn
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第三章 误差的合成与分配
教学重点和难点
• 函数系统误差 • 函数随机误差 • 函数误差分布的模拟计算 • 随机误差的合成 • 未定系统误差和随机误差的合
成 • 误差分配 • 微小误差取舍准则 • 最佳测量方案的确定
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第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
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当 ai 1 y x1 x2 ... xn
▪ 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
2、三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi xi
cos f x1, x2,..., xn
1
sin
n i 1
f xi
xi
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2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
Dij
或
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f
xn
2
xn
2
n f
2
1i
j
xi
f x j
ij xi xj
▪ x第i i个直接测得量 的x标i 准差
▪ i第j i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
误差传递系数为:
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
D f l f h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一
把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该
工件直径的系统误差，并求修正后
的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 5处00mm
的直径测量值
D0
l2 h 1300mm 4h西华大学物理与化学学院
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
▪ xi和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1为, 2,各,个n) 输入量在该测量点
误差传播系数
(x1, x2, , xn )
处的
▪ xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
a22
2 x2
an2
2 xn
▪ x第i i个直接测得量 西的x华极i 大限学物误理差与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
三角形式的函第数第三随一章机误节差误的差合成公函与式分数配 误差
三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2,, xn
▪ x第fi i个直接测得量 对x间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1, x2, , xn )
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 y f (x1, x2,..., xn )
▪ x1, x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值
▪ y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
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2 x2
2
f xn
2 xn
Dij ij 0
或
y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
2
f xn
2 xn
令
f xi
ai
则
y
a12
2 x1
Байду номын сангаасa22
2 x2
an
2
2 xn
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
y
a12
2 x1
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
二、函数随机误差计算
数学模型
函数的一般形式
y f (x1, x2,..., xn )
变量中只有随机误差
即： y y f (x1 x1, x2 x2, , xn xn )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
第三章 误差的合成与分配
第3章 误差的合成与分配
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第三章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。