函数y f ( x )的图形.
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
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4.【几个特殊的函数举例】
(1)【常数函数】
yc
c为常数
y
yc
o
图形是一条平行于 x轴的直线
x
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(2)【绝对值函数】
x y x x
x0 x0
开区间 ( a , b ) x a x b

b
闭区间 [ a , b ] x a x b
o
a

x
o
a
b
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x
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半开区间
有限区间 无限区间 无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】设
f : X Y
是单射
定义 g : f ( X ) X 称映射 g 为映射 f 的逆映射
记作
f 1
【注】 ①只有 f 是单射才存在逆映射.
X f ( X ) 满且单，故而是双射
② 逆映射 f 1是指从值域 f ( X )到X的映射
2.集合间的关系及运算：
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（1）关系 【定义2 】 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是B 的子集,或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
若AB，且A≠B，则称 A 是 B 的真子集.记作A B ≠ 【例如】 显有关系: , ,
2
x R
非满射
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f ( R) y y 0
【例2】 f : X Y 其中
Df R

R
除y 0外原像都不唯一
X ( x, y ) x 2 y 2 1
y
Y ( x,0) x 1 Df X
f (X ) Y

非单射

X
x
满射但非单射
Y
o
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因变量 函数 自变量 函数值
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的 函数值
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D} 称为函数的 值域
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2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
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【例1】
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域 . 2 1 x 2
1 0 x1 【解】 f ( x ) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
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四、函数的特性
1.【函数的有界性】
(1)【定义】 若数集X D, K1 , x X , 有 f ( x ) K1
称函数 f ( x ) 在 X 上有上界 ( K1是其中的一个 上界 )
若K 2 , 使得
f ( x) K2
x
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(6) 【取最值函数】
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
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(7)【分段函数】
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
X f ( X ) R f 必是满射
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②对单射 f 而言，元素 y 的原像 x 必唯一. ③单射、满射前提条件首先是映射.
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【说明】映射 f (算子)在不同数学分支中的惯用名称: ①泛函： X (≠ )
f
Y (数集)
例如： «实变函数与泛函分析» f ②变换： X (≠ ) X 如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等. ③函数: X (数集 或点集 ) f R , 例如： « 高等数学»中的函数。
[x]表示不超过
y 4 3 2 1 o
x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
该函数是数论中一个 极为重要的函数
阶梯曲线
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(5) 【 狄利克雷函数】
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
对偶律（反演律或德· 摩根律）
( A B) A B
C C
C
( A B) A B
C C
C
［并之补等于补之交，交之补等于补之并］
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3.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
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对映射 (2)【定义】
X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射; 引例2, 3
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; 引例2 ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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【例1】
f :R R
f ( x) x
称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 ：g ( X ) R g D f 不可少
(2) f g 与 g f 是有区别的.
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某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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【引例2】
【引例3】
(点集) (点集) 向 y 轴投影
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(1)【定义4】 设X,Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 有唯一确定的 与之对应 ,则 f : X Y 称 f 为从X 到Y 的映射, 记作 则f ,使得
从 Y 到 X不一定是映射
如以上三例中，只有例3存在逆映射.
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⑵【复合映射】 ①【引例】
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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②【复合映射】
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设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z 且Y1 Y2
定义
f g:X Z
①映射具备三要素 a . 定义域 D f X
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b. 值域 f ( X ) R f Y
c . 对应法则 f
②映射的特点 ① 任一 x X 在Y 中都有像
② x 的像 y 必须唯一 ③ y 的原像 x 不一定唯一 ④ 值域 R f Y (不一定R f Y )
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n i 1
②描述法： M x x 所具有的特征 【例】整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
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第一节
映射与函数（一）
一. 基本概念 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 反函数 六. 小结 思考题
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一、基本概念
1. 定义及表示法
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(1)【定义 1】 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 【注】M 为数集
三、函数概念
【引例】 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n
n 3 ,4 ,5 ,
r
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1.【函数定义】设数集D包含于R，则称映射 f ：D→R 为定义在D上的函数，通常简记为:
定义域
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y f ( x ) , x D,
⑵【邻域】
点a 的 邻域