f （ ξ） Σ i1， i2， …， i n = 1 x i1 x i2 …x i n
n
m +1
k
足： （ 10）
（ xi ∏ j =1
Σ i =1
n
2W －
j
(
1 1 2 ω i e α + βεi εi
) )
= －N
（ 15 ）
引理 的 详 细 证 明 可 以 参 考 数 学 分 析 的 相 关 ［3 -5 ］ ． 书籍
图2
3 个公式的近似效果图（ 对数图）
n 较小时式 （ 3 ） 有严重的偏差， 从图 2 可以看出， 尤 n 1 ， （ 3 ） 0 ， 其在 接近 时 由于式 的数值可能小于 对 数坐标下的图像甚至出现不可导的点 ， 效果很差． 式（ 4 ） 的误差就要小得多， 在 n 不大时有小的误差． 而式（ 5 ） 的精度就更高， 从实际图和对数图上， 都无 法看出明显的偏差． 由于近似水平上的差异， 本文将给出基于精度 较高的式 （ 5 ） 的推导和结果，给出基于式 （ 4 ） 的结 不再涉及精度较低的式（ 3 ） ． 果， 对原问 题 进 行 化 简， 使用较高精度的近似式 （ 5 ） 时， 有 h（ a1 ， a2 ， …， an ） ≡ln［ f（ a1 ， a2 ， …， an） ］= ln N！ －Σ
在统计物理中， 对于玻尔兹曼最概然分布， 通常 都是使用拉格朗日乘子法， 推导出需要的分布形式． 但是一般教科书
［1 ， 2 ］
秩与其系数矩阵的秩相同即可．
为了保留直观的物理图像而舍
2
问题简化
a2 ， …， a n ） 的表达式中含有阶乘和指 注意 f（ a1 ，
弃了推导过程中的严密性． 例如在处理二阶导数时， ［3-5 ］ 和 n 元函数微分学的基本理论 存在出入， 使得 “最概然” 3 个字略显底气不 玻尔兹曼最概然分布的 足． 这样的推导也许会让一部分初学者产生疑惑． 本文的工作， 正是试图通过严格的数学方法， 在理论 ， 保证玻 上证明玻尔兹曼最概然分布的“最大概率 ” 尔兹曼最概然分布的严格， 使得初学者和教育者在 发现这个问题的时候有所参考．
Σ
ai ln ωi －
g （ a1 ， a2 ， …， a n ） = Nln N －
n
Σ
n i =1
a i ln a i +
n －1 （ 7） Σ i = 1 a i lnω1 － 2 ln（ 2 π） a2 ， …， a n ） 何时取到最大值． 原问题转化为求 g（ a1 ，
4
重要引理
3
传统教材对玻尔兹曼分布推导的漏洞
1
问题描述
为了让文章具有完整性， 这里首先将玻尔兹曼 最概然分布要处理的问题表述如下： 假设有 N 个可 位于 n 个可以不同的能级上， 每个能 以分辨的粒子， a2 ， …， a n ， 能 量 为 ε1 ， 级上占 据 的 粒 子 数 为 a1 ， …， …， ε2 ， εn ， 简并度为 ω1 ， ω2 ， ω n ，体系总能量为 ε，什么分布出现的概率最大？ 用数学化的语言来说就是： 设 a1 ，a2 ，…，a n ∈
摘要： 在运用较高精度的斯特林公式基础上， 利用拉格朗日不定乘子法， 结合带拉格朗日余项的 n 元泰勒展开式， 以兰伯 特 W 函数的形式， 给出了精度更高的一种玻尔兹曼最概然分布及其严格的理论推导， 并附带给出较低精度的斯特林公式下的 推导结果． 此方法可以很容易推广到玻色分布和费米分布中去 ． 关键词： 玻尔兹曼分布； 拉格朗日不定乘子法； 斯特林公式； n 元泰勒展开式； 兰伯特 W 函数 中图分类号： O 414． 2 文献标识码： A 文章编号： 1000-0712 （ 2015 ） 03-0060-06
5
玻尔兹曼分布的严格化证明
下面推导需要用到兰伯特 W 函数． 若 W（ z） 满足 z = W （ z ） e W（ z） ， （ 11 ）
= －ε （ 16 ） 1 2 ω i e α + βεi a2 ， …， a n ） = h （ a1 ， a2 ， …， an ） + 证明： 令 H（ a1 ， 2W －
的． 这只需要判定两个条件联立对应的增广矩阵的
收稿日期： 2014 － 02 － 08 ； 修回日期： 2014 － 09 － 30
作者简介： 陈凌蛟（ 1992 —） ， 男， 江苏南京人， 东南大学吴健雄学院 2011 级本科生．
第3 期
陈凌蛟， 等： 玻尔兹曼分布的严格推导
61
分布的推导及其漏洞． 传统的统计物理 在研究玻尔兹曼分布时， 常常利用式（ 3 ） ，将原问题转化为求 s（ a1 ， a2 ， …， an ） = Nln N －
a2 ， …， an ） = φ1 （ a 1 ， a2 ， …， an ） = φ2 （ a 1 ， 设
Σ i =1
n
ai － N = 0 εi ai － ε = 0 （ 12 ）
Σ i =1
h（ a1 ， a2 ， …， an ） = N + （ 9）
(
1 ln N － 2 ai ln ωi －
DOI:10.16854/ki.1000-0712.2015.03.005
第 34 卷第 3 期 2015 年 3 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 34 No． 3 Mar． 2015
玻尔兹曼分布的严格推导
1 2 陈凌蛟 ， 侯吉旋
（ 1． 东南大学 吴健雄学院， 南京 211189 ； 2． 东南大学 物理系， 南京 211189 ）
n i =1
ln N － Σ ln a + (N+ 1 (a + 1 2) 2)
n i =1 i i n i =1
ln（ ai ！ ） +Σ
n i =1
ai ln（ ωi ） ≈
n －1 ln（ 2π） （ 6） 2 a2 ， …， a n ） 何时取到最大值． 原问题转化为求 h（ a1 ， 而在使用近似式（ 4 ） 时， 可以类似地得到
Σ
n
i =1
(
)
（ 14 ）
k
Σ k =1
1 k！
（ xi Σ ∏ i ， i ， …， i = 1 x i x i … x i j =1
1 2 n 1 2 n
n
f （ x0 ）
k
j
－ x0 ij ） + －x ）
0 ij
其中 W 为兰伯特 W 函数的单值分支 W0 ， α和β满
n
1 （ m + 1） ！
［1 ， 2 ］
Σ
n i =1
ai ln ai +
Σ
n i =1
ai ln ωi （ 8）
2］是这一类方法的代表， 何时取到最大值． 文献［ a2 ， …， a n ） 在条件 论证思路清晰明了： 要寻找 s （ a1 ，
图1 3 个公式的近似效果图
式（ 1 ） 下的极值点， 只需直接使用拉格朗日乘子法， 建立拉格朗日方程， 联立求解，就可以得出结果． 其优点在于论证简洁清楚， 结果一目了然， 具有相当 但是存在几处漏洞． 的启发性， 1 ） 使用的斯特林公式过于粗糙． 文献［ 2］ 的证 明利用了式（ 3 ） 做模型近似， 如前文所述， 这是一个 较粗糙的近似． 基于这一模型获得的结果精度难以 a2 ， …， a n 不很大的情况下， 这 保证． 尤其在 N，a1 ， 种估计和实际的分布情况差距很大 ． 2 ） 解的存在性没有进行说明． 文献［ 2］ 采用拉 格朗日乘子法求出玻尔兹曼分布的形式， 是建立在 条件极值一定存在这一假设之上． 这是拉格朗日乘 子法本身的要求， 后面给出的引理 1 将说明这一点． a2 ， …， a n ） 的条件极值不存在， 然而， 如果 s（ a1 ， 拉格 朗日乘子法就不能使用， 结论的正确性也就无从保 证． 因此， 判定条件极值的存在性是有必要的 ． 3 ） 没有论证得到的分布是否为条件最大值点 ． 拉格朗日乘子法得到的是条件极值点， 但无法确定 是条件极大值还是条件极小值． 另一方面， 拉格朗 日乘子法无法判定边界点与条件极值点的大小关 1］ 系． 这一方面， 文献［ 试图用函数对 a i 的二阶导数 小于 0 来论证分布是最大值点， 然而这并不严格． ， 0 一方面 二阶导数小于 只能是判定一元函数驻点 为条件极大值点的条件， 对于多元函数不适用． 另 一方面， 即使是对于一元函数， 这也只是条件极大值 点的条件， 而不是条件最大值点的条件． 2］面向的读者 群 多 为 统 计 物 理 的 初 学 文献［ 者， 所做的论述力求以传达统计物理的思想为要 ， 做 了较大的简化是可以理解的． 然而， 从数学上构建 严密的分析方法， 夯实玻尔兹曼分布的理论基础， 甚 至发掘出一些新的观点， 对于统计物理本身， 仍然是 很有意义的．
)
Σ
n i =1
ln a + (a + 1 2)
i i
其中 J 为雅可比（ Jacobi） 矩阵． 引理 2 n 元拉格朗日型余项的泰勒公式
n 1 设 UR 为凸区域，f： U → R 具有 m + 1 阶连 x0 = （ x0 x0 …， x0 x = （ x1 ， x2 ， …， 续偏导数， n ） ∈ U， 1， 2，
a2 ， …， an ） = 求 f （ a1 ，
N！
∏ i = 1 ai ！
∏ j = 1 ωa j 何时取得最
a2 ， …， a n ） 是玻尔兹曼体系当中对 大值？ 这里 f（ a1 ，
2 ］ a2 ， …， a n 时的微观状态数［1 ， ． 需 应能级分布为 a1 ， 要说明的是， 本文假定满足上述条件的分布是存在
我们首先回顾传统统计物理教材对于玻尔兹曼
为了从数学上严格地研究上述问题， 这里先给 出 2 个重要的引理．