确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。
例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
趋行及半，小奚扑，束断书崩，啼 未即起。理书就束，而前门已牡下矣。 予爽然思渡者言近道。天下之以躁急 自败，穷暮而无所归宿者，其犹是也 夫？其犹是也夫！（选自《清代五十 家文选》周容）
0= 0，02
4g l
则其解为
0
cos
2
进行运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0
dt
A
O
l
m
N
最高点位非稳定平衡点，可能出现三种运动情况：
A
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
O
l
m
N
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下， 其解可能具有不可预测的随机性。
& 相轨线
&
2
2n
2(n 1)
三维相空间
&
相轨线
2n
环形相空间
★通过分析相轨线在庞加莱截面上的交点的分布
规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程
中系统的运动规律。
时间序列 相图
阻尼运动 周期运动 多周期运动 混沌运动
讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原，即
相轨线每次都从同一点穿过庞加莱截面， ★在庞加莱截面图上只有一个不动点； ●倍周期的运动，庞加莱截面图上有 两个不动点； … ●运动无周期性，则庞加莱截面图上有无穷多个点。
★受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程
&
&
m
g l
sin
F ml
cos
t
显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。
引 可 相入将空新方间变程 中量化 的为 自 =三 治维系t ，&&
统：
&
m
g l
sin
F ml
cos
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
他制定出无懈可击计划，执行起来也 小心翼翼。但等他一旦回到现实，却发 现一切都已面目全非。他的行为已经造 成了损失惨重的改变，而他最亲密的那 些朋友的生活已经南辕北辙。
从不同的角度看Lorenz吸引子
从不同的角度看Lorenz吸引子
Lorenz 吸引子的 Poincare 截面
人(虫)口模型：Logistic equation
43
Mandelbrot集的自相似性
放大这个区域
进一步地放大
47
Mandelbrot 集与logistic map
zn1 zn2 c
1 c
zn1
1 c
zn2
1
xn
1 c
zn
xn1 cxn2 1
c
x n 1
1
αx
2 n
lim zn
n
Julia 集
zn1 zn2 c; z0 (x0, y0)
而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二
维 ( : &) 相平面上相轨线有相交情况。
Poincare 截面图
若沿 方向截取一截面，则根
据该自治系统的性质，每个截 面上只有一个交点，即相轨线 一次性的穿过每一个截面。
因 t 2n ，若以2 为周长，将相空间弯成
一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为庞加莱截面。
混沌的发现
●在确定性的非线性动态系统中出现的 貌似随机的、不能预测的运动,它对初始 条件有极其强烈的敏感性。
●蝴蝶效应
1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱
德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空
管计算机速度约每秒做6次乘法。
x& ( y x)
经简化后的洛仑兹气象模型为
y&
(r
●当n，则解的数目，意味着系统已进入混
沌状态。将混沌开始时对应的 记为 ( =1.40115518909205 )。
通向混沌的其它道路
●准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌.
●阵发混沌道路
xn
2. 混沌区的结构 a. 窗口 ●在混沌区中重又出现 的周期性运动。
★窗口中包含着与整体 完全相似的结构。
空间非线性迭代生成分形图案： Mandelbrot集
zn1 zn2 c
曼德勃罗集合：上述方程在复平面上经过无穷次迭 代后不会逃逸到无穷远处的点的集合
Mandelbrot set: This set is defined as the collection of points c in the complex plane that does not escape to infinity for the equation
x x
x x0et
马尔萨斯人口论
x x x2
x cet
人(虫)口模型：Logistic equation
r=2
r = 3.3
人(虫)口模型：Logistic equation
r = 3.5
r = 3.9
29
人(虫)口模型：Logistic equation
混沌的演化，内部结构和普适性
了（, ）相平面上的运动轨
道，如右图所示。图中青色轨 道对应k=0.2，蓝色k=0.5，红 虚线k=1，黑色k=1.2。图中的 原点（0，0）对应k=0，是系 统的稳定平衡位置。
当 k << 1时，q 和w均为小量，方程于是可近似为
2 2 2k 2
即相轨道近乎半径为2k的圆。随着k的增大，轨道
方程所围区域扩大，轨道形状也逐渐偏离圆形。但 只要能量足够小乃致 k < 1，轨道仍是环绕平衡点 (0,0)而闭合曲线。在此情形下，摆角|θ|<π，即质点 不可能摆动到支点O的正上方（θ=±π）。
但若系统能量大到以致
k >1，则
2
4k 2
4
2
2
k2 1 k2 1
表明，角频率ω要么恒负，要么恒正，即单摆的质 点作围绕支点的顺时针或反时针旋转运动
在此情形下，质点即使运动到θ=±π的最高点也具
一定的角速度，驱使其继续往原方向转动。所以， k =1的轨道是单摆摆动与转动的分界线
自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单摆方程可得 （角谐振动）
&
&
2
不显含 t ，在二维相空间中为自治系统。
各个系统的其他具体细节无关。
●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，是
混沌内在规律性的另一个侧面反映。
普适常数
在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各
对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分
岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常
数 ，称为标度因子或普适常数:
= 2.5029078750958928K
z)x
y
z& xy bz
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
x,z 的时间演化序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 x,z 时间序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01
相图
●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：小角度线性单摆（简谐振动）
d 2
dt 2
2
0
Acost, & Asin t
• 单摆一般运动的相图Fra bibliotekd 2
dt 2
g sin
l
sin 0
d d d d dt d dt d
因此，单摆运动方程（1）可表达为相空间 (θ，ω)
的轨道微分方程：
第七章：非线性力学简介
非线性振动系统及混沌的基本概念
• 任意摆角情况下单摆的运动
若 f (x) 满足 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 则 f (x) 是线性的； 若 g(x) 为非线性，则
g(x1 x2 ) g(x1) g(x2 )
A
★自由单摆的运动方程：
d 2
dt 2
微小初始值对应的相轨道比较
x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
x(0)=1.01; y(0)=1; z(0)=10
• 蝴蝶效应
“千里之堤，溃于蚁穴”
“失之毫厘，谬以千里”
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
埃文·泰瑞博(艾什顿·库奇饰)是一
个平平无奇的大学生，唯一和普通人不 同的是从童年时代起，就有心理学家不 停记录他每日生活中的全部细节。某天， 埃文忽然读到了那些记录中的一部分， 顿时，那些已经被他自己埋葬在内心最 深处许多年的黑暗记忆又再次被唤醒， 那是改变了他整个少年时代的不堪回首 往事。机缘巧合，埃文忽然发现自己可 以通过一直搁在床下那些写着当年记录 的笔记本回到过去，进入自己当年的身 体。也许这些落满灰尘的笔记本可以让 他从此摆脱所有不愉快的记忆，抱着这 样的想法，埃文回到过去，力图改写历 史，以为这样就可以治愈他受伤的记忆， 让他和所爱的人们能从此之后幸福生活。