作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都 要等效地移到节点上去 即用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。
3）单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原 来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程：
4）引入边界条件，解方程组
将u1=v1=v3=v3=0代入方程，可得
由此可解得结构的节点未知位移，进而求得轴向力 和应力。 根据方程组的特点选择合适的求解方法。
设定梁单元的位移函数为
v( x) a1 a2 x a3 x 2 a4 x 3
式中i为待定系数。
梁单元的自由度为{q}T = [vi zi vj zj]。 上式写成矩阵形式:
a1 a 3 2 x ] [ S ]{a} a3 a4
v( x) [1 x
二、虚功原理法
1.设定位移函数
以平面三角形单 元为例，说明该 方法的步骤。
选择三角形单元内各点的位移函数为： {d(x, y)} = [u(x, y) v(x, y)]T 对三角形单元，可假设单元内各点位移为坐标x，y的线性函数：
u ( x, y ) a1 a2 x a3 y v( x, y ) a4 a5 x a6 y
第5章 有限元分析方法
• • • • 概述 有限元法中单元特性的导出方法 有限元法的解题步骤 有限元法的前后置处理简介
参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学 王勖成 邵敏
5.1 概 述
有限元分析方法
•是一种现代设计计算方法，是随着电子计算机技术的发 展而发展起来的；
•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析（连续体力 学分析）； •后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
2）单元特性分析
a）选择位移模式
•位移法：选择节点位移作为基本未知量；单元 的一些物理量(位移、应变、应力等) 由节点位移来表示。 •力法：选择节点力作为基本未知量；
•混合法：取一部分节点力和一部分节点位移 作为基本未知量； 位移法易于实现计算自动化，故应用广泛。
单元中位移的分布采用位移函数（能逼近真实函数的近似函数）描述； 通常将位移表示为坐标变量的简单函数。 反映真实的 位移分布
4.由虚功原理求单元的刚度矩阵
根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给 出的节点虚位移下，外力(节点力){F}及内力{}所做的虚功之和 应等于零，即 AF A 0
虚功方程
给单元节点以任意虚位移{ }：
{ } ui

vi u j v j uk vk T
1 1 br bs cr cs br bs cr bs Et 2 2 [ K rs ] 2 1 1 4(1 ) A c b br cs cr cs br bs r s 2 2 ( r i, j , k ; s i, j , k )
u i 1 xi v 0 0 i u j 1 x j q v j 0 0 u k 1 x k v k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 0 0 xi 0 0 0 1 y i 2 0 3 [c] y j 4 0 5 y k 6
三、能量变分原理方法
能量变分方法 1.最小位能原理 弹性体受外力作用产生变形时伴随着产生变形能U和外力能 W，所以系统总位能Π可写成
一种用变分法求能量泛函的极值方法
由于{ }和{ }是位移u，v，w的函数，所以Π是一个函数的函数， 即“泛函”。
其意义为：
在所有满足几何关系和边界条件的多组可能位 移中，只有满足平衡方程式的那组位移 u, v, w 才能使物体的总位能为最小。该组位移 u, v, w
例： |d|=∑aiφi
ai：待定系数
φi：坐标的某种函数
b）分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义，找出单元节点力节点位移间的关 系式。
需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力 和位移间的方程式，进而导出单元刚度矩阵。
c）计算等效节点力
有限元分析中，假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元。 实际情况：力是从单元间的公共边界传递到另一个单 元中去的。
x2
于是
位移函数
从方程组中解出待定系数ai之值，代入位移函数v(x)中去， 即得问题的正确解。
3.位移函数
在有限元法中，一般设定位移函数是多项式
用它近似地描述实际的位移变化规律 式中i是待定系数 对位移函数的要求 从数学意义上看，设定的位移函数至少应具有分片连续的一阶 导数，这样才能使泛函的积分有意义。这是因为泛函含有应变
5.2 有限元法中单元特性的导出方法
单元特性：刚度矩阵、质量矩阵、热矩阵等。 建立刚度矩阵的方法：
1）直接方法 2）能量变分原理方法 3）虚功原理法 4）加权残数法
一、直接方法 直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分 析单元特性的一种方法，这种方法仅能用于简单形状的单元。 梁的抗弯刚度 例：
u v u v , y , xy , x y y x
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bk 0 ck
3.根据虎克定律，通过应变求应力
对平面应力问题，有： { } [ D]{ } [ D][ B]{q}
1 E 其中， [ D] 2 1 0 0 1 0 1 0 2
假定一系列边界条件，结合平衡条件即可求出 kij
首先假设：vi=1，θzi=vj=θ zj=0
由梁的变形公式有：
vi=Fyil3/(3EI)－ Mzil2/(2EI)=1
θi=Mzil/EI－
Fyil2/(2EI) =0
解得：
Fyi=12EI /l3=k11 Mzi=6EI/l2=k21
由力、力矩的平衡条件：
梁在外载 荷作用下 产生弯曲。 把梁看成是 一个单元， 它具有两个 节点：i 和 j。
单元的节点位移列阵 单元的节点力列阵
挠度和剪力向上为正， 倾角和弯矩逆时针方 向为正方向。
在弹性小位移范围内，梁的节点力和节点位移间的关系可表为 单元的有限元方程 单元刚度矩阵 简写为：
K=[kij]4×4 kij: 单元的j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。 单元刚度矩阵是对称的 由功的互等定理有：kij= kji Fyi=k11vi+k12θzi+k13vj+k14θ zj Mzi=k21vi+k22θzi+k23vj+k24θ zj
的值就是问题的正确解答。

V
{ }T ( ) dV {q}T {F }
与虚功原理法的结果一致。
于是，求解直梁的问题即为：在给定的边界条件下解上述微 分方程式，求出v(x)。
上述问题是在给定的边界条件下解微分方程。
对于简单梁问题，这并不困难；但对复杂结构则比较困难，有 时甚至是不可能的。于是，就产生了“泛函变分的近似解法” 。 里兹法就是其中的一种。 里兹法是假设一个线性组合形式的位移函数 y aii
例：托架的变形分析
1.有限元法的概念
单元 边界：单元与单元 的交界线。
节点：单元交界线相 互连接的交点。
有限元概念的由来
2.有限元分析的思路和步骤
1）结构离散（单元剖分）
将工程结构离散为由各种单元组成的计算模型 单元：一维、二维、三维 节点的设置、单元的 性质和数目等视问题 的性质、描述变形形 态的需要和计算的精 度而定。 单元划分越细，描述变形情况越精确（越接近实际变形）， 但计算越大。
i 1 n
,
它是一个容许函数，其中的ai是待定系数。然后，把该函 数代入所求问题的泛函II中去，求其变分II。再从极值条 件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得
的值代入 y aii 的函数中去，即得问题的正确解。
i 1
n
例：
采用能量变分原理的有限元法(里兹法)来计算平面直梁问题
y i i
i 1 n
的形式
（
u v w , , x y z
按式(5.6a)和(5.7)可求得单元内各点将产生的虚位移和虚应变为：
u [ N ]{q} v { } [ B]{q}
则单元节点力所做的虚功
AF ui Fxi vi Fyi u j Fxj v j Fyj uk Fxk vk Fyk
V
{F } [[B ]]T[[D ][ B ]]dV{q} {F } B D ][ B dV {q} V
V
简写为：
{F } [[K ]{q} {F } K ]{q}
T [[K ]] [[B ]]T[[D ][ B ]]dV 其中， K B D ][ B dV
将[B]和[D]代入上式即得平面应力问题三角形单元的刚度矩阵
Fyj=－ Fyi
Mzj=Fyil－Mzi 解得： Fyj=-12EI /l3=k31
Mzj=6EI/l2=k41
再假设：θzi=1，vi=vj=θ zj=0 由梁的变形边界条件又可求得：k12、k22、k32、k42 以同样方法还可求得平面弯曲梁单元的刚度矩阵中的其他元素。
平面弯曲梁单元的刚度矩阵为：
1 xj 1 xk
由上式可解得：
[c]1 q
已知
1 xi 0 0 1 x j [c ] 0 0 1 x k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 0 0 xi 0 0 0 yi 0 yj 0 yk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 xj 1 xk
单元内各点 的位移用节 点位移插值 表示。