如果A (a ij )与B (b ij )是同型矩阵, 并且它 们的对应元素相等, 即 a ij b ij ( i 1,2, , m; j 1,2, , n). 那么就称矩阵A与矩阵B相等, 记作A B .
４ 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记作O .
主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的 n阶方阵, 叫做n阶单位阵, 简记作E .

二、基本内容
１ 矩阵的定义
由m n个数 a ij ( i 1,2, m; j 1,2, n)排成m 行n列的数表 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2 n A a m 1 a m 2 a mn 叫做m 行n列矩阵, 简称m n矩阵.
14 初等矩阵
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵．
初等变换和初等矩阵的关系
kri Amn Em i (k ) Amn (左边乘) ri kr j Amn Em i , j (k ) Amn ci c j Amn En (i , j ) Amn kci A Amn En i (k ) mn 右边乘 c j kci Amn A E i , j ( k ) m n n
５ 矩阵相加
设A (a ij ) m n , B (b ij ) m n 为两个同型矩阵 , 矩阵加法定义为 A B (a ij b ij ) m n , A B称为 A与B的和. 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
r i k (c i k )
r i k r j (c i k c j )
13 矩阵的等价
如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B , 就 称矩阵A与B等价, 记作A ~ B .
反身性
对称性
A ~ A;
若A ~ B, 则B ~ A; 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C .
传递性
伴随矩阵具有重要性质 : A A A A A E .
A A
*
n1
１０ 逆矩阵
定义 设A为n阶方阵, 如果存在矩阵 B , 使
AB BA E 则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的 、满 秩的), 且矩阵B称为A的逆矩阵.
若A有逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的, A的逆 矩阵记作 A 1 .

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以 及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩 阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等 价的概念，理解矩阵秩的概念，会用初等 变换求逆矩阵和一般矩阵的秩。 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运 算法则，特别要掌握分块矩阵的理论应用。
一般地
( AB) Ak B k .
方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式 , 叫做方 阵A的行列式, 记作 A 或 det A.
运算规律
设为数, A, B为n阶方阵, 则
A n A ;
AB A B .
９ 一些特殊的矩阵
转置矩阵
把矩阵A的行换成同序数的列得 到一个新矩 阵, 叫做A的转置矩阵, 记作 AT .
对应的元素上去, 记作 r i k r j (c i k c j ).
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．
初
等
变
换 逆
变
换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
1 1 r i (c i ) k k r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
( A B ) A B .
７ 矩阵相乘
设A (a ij )m s , B (b ij ) s n , 规定A与B的乘积 是一个m n矩阵C (c ij )m n , 其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
k 1 s
( i 1,2, , m; j 1,2, n), 记作 C AB.
运算规律
( AB )C A( BC );
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数);
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
16 矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如
1 0 0 0
c 3 c4 4 c4 c1 c2 1 1 0 3 0 0 1 3 c5 4c1 3c2 3c3 0 0 0 0
设A 是一个 m n 矩阵,对 A施行一次初等行变换,相当 于在矩阵 A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施 行一次初等列变换,相当于在矩阵 A 的右边乘以相应 的 n 阶初等矩阵,即
Amn Em (i , j ) Amn
ri rj
15 行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
对(1)式,当m n时, A称为n阶方阵.
a1 a2 只有一列的矩阵 A 叫做列矩阵; am 只有一行的矩阵 A (a 1 a 2 a n )叫做 行矩阵.
３ 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵．
E m Amn Amn Amn E n .
８ 方阵的运算
n阶方阵的幂
设A是n阶方阵, 定义
2 1 1 k 1 k 1 A , , , A A A A A A A, 1
其中k是正整数.
A A A
k l
kl
, ( A ) Akl ,
k
k l
其中k , l为正整数.
一、矩阵的运算
例1 判断下列命题是否正确:
2
1 AB 0且A 0, 那 么B 0. 2 A A, 那 么A 0或 A E. 3 A B A 2 AB B
2 2 2
4
5 A E A 1 6 A 0 A 0
( A ) A; ( A B ) AT B T ; (A) AT ;
T T
T T
( AB ) B T AT .
T
对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为对称矩阵.
反对称矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为反对称 矩阵. 对角矩阵 设A为n阶方阵,如果除了主对角线以外 , 其余元 素全为零 , 则称A为对角矩阵.
相关 0. A 若矩阵A可逆, 则 A 1 . A 1 1 1 1 1 ( A ) A; (A) A ( 0);
(A ) (A ) .
1
T
T 1
若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且 ( AB ) B 1 A 1 .
2
AB 0 A 0或 B 0
a b 例 2 设A , 试将f ( ) E A 写成的 c d 多项式, 并验证f ( A) 0. a b 解 f ( ) E A c d
2 (a d ) ad bc,
若A为n阶可逆矩阵, 则
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
A的最高阶非零子式为 A ; R( A) n; A的标准形为单位矩阵 E ; A ~ E.
典 型
例 题
一、矩阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明 三、有关矩阵A*的运算及证明 四、矩阵的分块运算
五、矩阵的秩的求法及证明
六、用初等变换法解题
1
１１ 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
１2 初等变换的定义
换法变换
对调矩阵的两行(列), 记作 r i r j (c i c j );
倍法变换
以数k 0乘某一行(列)中的所有元素, 记作 r i k (c i k ); 消法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)
0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
任何一个m n矩阵, 总可以经过初等变换(行变 换和列变换 ), 化为标准形 Er O F O O mn 此标准形由m , n, r三个数完全确定, 其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的行 数.
第二章
矩
阵
湖北经济学院
一、考试要求
1.理解矩阵的概念，了解三角形矩阵、对角 矩阵、数量矩阵、单位矩阵的定义及性质，了解对 称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等 特殊矩阵的定义及性质。 2.掌握矩阵的线性运算，掌握矩阵的乘法及其运算 规律，掌握矩阵转置的性质，了解 方阵的幂，掌握方阵的行列式的性质及方阵 乘积行列式的性质。
2 f ( A ) A (a d ) A (ad bc) E 由此得 a 2 bc ab bd a b ac cd bc 2 (a d ) c d d 1 0 0 0 , (ad bc) 0 1 0 0 即f ( A) 0.