第二章习题习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22t t t ππππ+-cos t ω习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2/2/2/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dtT ττπθπτθ→∞-→∞-=+=+++⎰⎰222cos(2)j t j t e e πππτ-==+2222()()()(1)(1)j f j tj t j f X P f R e d ee e df f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰习题2.3 设有一信号可表示为：4exp() ,t 0(){0, t<0t X t -≥=试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X (t )的傅立叶变换为：(1)004()()441j t t j t j tX x t edt e e dt e dt j ωωωωω+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2()X f =222416114j fωπ=++习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。

试求：(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=⋅-⋅=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ⋅=。

又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]22221σ==x E x E 。

故 ()[]()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222exp 21σσπz x p 。

(3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2ex p f a -解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+[]221cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22A习题2.7 设()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为()()ττ21X X R R 和。

试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。

解：(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [1212()()()()X t X t X t X t ττ++]=[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )cos t ω，其中m (t )是广义平稳随机过程，且其自相关函数为4210,10 kHZ 10 kHZ()0,X f f P f -⎧-<<=⎨⎩其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线；(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。

解：(1)()1, 101010,x R τττττ+-<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它 其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图(2)因为)(t X 广义平稳，所以其功率谱密度()()τωX X R P ↔。

由图2-8可见，()τX R 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯*-++⨯=2Sa 2Sa 4112Sa 21210202200ωωωωωωωδωωδππωx P()()210,21d 21====⎰∞∞-x x R S P P 或ωωπ习题 2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =sin ffππ。

试求此信号的自相关函数。

解：x (t )的能量谱密度为G (f )=2()X f =2sin ffππ 其自相关函数()21, 10()1010,j f X R G f edf πττττττ+∞-∞+-≤≤⎧⎪==-≤<⎨⎪⎩⎰其它习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()ττk -e 2k R n =，k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。

解：(1)222()()2(2)k j j n n k k P f R ed e e d k f τωτωττττπ-+∞-+∞--∞-∞===+⎰⎰21()τx R -1τ1()20k R P n ==(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。

图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：()1, 11R τττ=--≤<试求X (t)的功率谱密度()X P f 并画出其曲线。

解：详见例2-12习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为4210,10 kHZ 10 kHZ()0,X f f P f -⎧-<<=⎨⎩其它 试求其平均功率。

解：34310*1042410802()2102*10**1033X f P P f df f df +∞--∞====⎰⎰习题2.13 设输入信号/,0()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩ ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。

试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为H(f)=()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞输入信号的傅里叶变换为X(f)=11122j f j f τπτπττ=++输出信号y(t)的能量谱密度为22()()()()11()(1)22y R G f Y f X f H f R j fCj f τππτ===++习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=[]()/dx t dt τ式中，τ为常数。

试求该线性系统的传输函数H(f).()τn R 2k τ()f P n 1fCR图2-3RC 高通滤波器解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()j f X f τπ,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2f πτ习题2.15 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。

当输入一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。

解：参考例2-10习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。

若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。

(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为H(f)=2221221422j fC f LCj fLj fCππππ=-+输出过程的功率谱密度为20021()()()21i n P P H LCωωωω==- 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4Cn CR L Lττ=-(2) 输出亦是高斯过程，因此 20000(0)()(0)4Cn R R R Lσ=-∞==习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为2n 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。

解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。

由 2.15题可知E(y(t))=0 , 200(0)4y n R RCσ==所以输出噪声的概率密度函数202())y x RCp x n =-习题2.18设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随变量，且(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、，试求[(1)]E ξ及(0,1)R ξ。

图2-4LC 低通滤波器解：[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E ξπππ=+++=(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2R E ξξξππππ==+++=习题2.19设1020()cos sin Z t X w t X w t=-是一随机过程，若1X 和2X 是彼此独立且具有均值为 0、方差为2σ的正态随机变量，试求： （1）[()]E Z t 、2[()]E Z t ； （2）()Z t 的一维分布密度函数()f z ； （3）12(,)B t t 和12(,)R t t 。

解： （1）10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=因为1X 和2X 是彼此独立的正态随机变量，1X 和2X 是彼此互不相关，所以12[]0E X X =22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+又1[]0E X =;222112()[][]D X E X E X σ=-= 221[]E X σ⇒=同理222[]E X σ=代入可得 22[()]E Z t σ=（2）由[()]E Z t =0；22[()]E Z t σ= 又因为()Z t 是高斯分布可得 2[()]D Z t σ=22[()])2z f Z t σ=- (3)12121212(,)(,)[()][()](,)B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=101201102202[(cos sin )(cos sin )]E X w t X w t X w t X w t =--221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ=+=-=令12t t τ=+习题2.20求乘积()()()Z t X t Y t =的自相关函数。