三、单位冲激偶信号
冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。

t t t d )
(d )(δδ=
' （） 式（）可从极限的角度理解，
)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图，)(ˆt δ的导数)(ˆ
t δ'如图(a)所示，用公式表示为
)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t 当0→τ时，)(ˆ
t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。

故称它为冲激偶函数，用图(b)表示。

（a ） （b ）
图 冲激偶函数
设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分
()
()t t t t x t
t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'--=-=-'⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞-∞∞-∞
∞-∞
∞-δδδδδ
利用冲激函数的抽样性质，从上式得
)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞
∞-δ （）
该式称为)(t δ'的抽样性质。

采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（），还可得
)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （）
注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。

再来考虑)(t δ'的对称性。

t ττt -==-'τδδd )
(d )(
由于)(t δ为偶对称函数，则有
)(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （） 可见，)(t δ'为奇对称函数。

故
⎰∞
∞-='0d )(t t δ
当然，令式（）中的1)(=t x ，也可得上式结果 。

函数)(t δ的各阶导数统称为高阶冲激。

特别指出，在同一时刻出现的单
位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积，如)(2t δ，)()(t t δδ'等没有意义。