函数的单调性和奇偶性
教材复习
基本知识方法
1.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
4.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域1
2D D D =上：奇±奇
=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．
6.判断函数的单调性的方法：
（1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0()
f x f x >为减函数； ④()f x ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数.
类别 增函数 减函数 图像 描述
自左向右．．．．看： 图像是 自左向右．．．．看： 图像是 单调
性定
义
一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个 自变量12,x x I ∈ 当12x x <时，都有 ， 那么，就称()f x 在区间I 上是增函数 当12x x <时，都有 ， 那么，就称()f x 在区间I 上是减函数 单调 区间 若函数()f x 在区间I 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间具有 ，区间I 叫做()f x 的
奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是
偶函数 关于 对称. 奇函数 如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是奇函数
关于 对称.
1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数。

2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是奇函数但不是减函数
C ．是减函数但不是奇函数
D ．不是奇函数也不是减函数
3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2
52()23
(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2
52(2
++a a f
C ．)23(-f ≥)252(2++a a f
D ．)23(-f ≤)2
52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ．{}
|3003x x x -<<<<或
5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≤
D ．3a ≥
6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。

7．若函数2()1
x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = .
9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1
f x
g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.
10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；。