上海师范大学标准试卷2014~ 2015 学年 第一学期 考试日期 2014年 11月19 日（考试时间：120分钟）科目：数学分析I （期中卷）专业 本、专科 年级 班 姓名 学号题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。

签名：________________得得分一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''21020⨯=)1. ( × ) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.2. ( × ) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n n a b >, 且n n a ∞→lim 和n n b ∞→lim 都存在，则lim lim n n n n a b →∞→∞>.3. ( √ ) 单调数列{}n a 如果含有一个收敛的子列, 则{}n a 本身一定也收敛.4. ( × ) 设{}n a 是无穷小数列, n ｛b ｝是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列.5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.6. ( × ) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则{}n n b a 一定为无界数列.7. ( √ ) 设函数()f x 在某00()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在且相等, 则()f x 在0x 极限存在.8. ( × ) 设0,lim ()lim ()x x x x f x g x b →→∞==, 则0lim ()()x x f x g x →=∞.9. ( √ ) 如果对任何以0x 为极限的递减数列00{}()n x U x +⊂, 都有lim ()n n f x A ∞→=,则有0lim ()x x f x A +→=.10. ( × ) 若00,0,εδ∃>∃> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥, 则0lim ()x x f x →不存在.得得分二．叙述题（''842=⨯）1. 叙述极限0lim ()x f x →存在的柯西准则.答: 设函数()f x 在0(0,)U δ内有定义. 0lim ()x f x →存在的充要条件是：0ε∀>,0δ∃>,(2分) 使得对0),,'(0U x x δ∀∈有()(')f x f x ε-<.(2分)2. 叙述集合S 上确界的分析定义.设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条：（1） 对一切x S ∈ 有x η≤，即η是数集S 的上界；(2分) （2） 对任何αη<存在0x S ∈使得（即η是S 的最小上界）(2分) 则称数η为数集S 的上确界. 得得分三．计算题（本大题满分24', 每小题'4）1. 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n 2. 求042lim x x x →+- 解: 111lim()1223(1)n n n →∞+++⋅⋅⋅+ 解: 00421lim lim 4(42)x x x x x x x →→+-==++=11111lim(1)223(1)n n n →∞-+-++-+ =1lim(1)1n n →∞-+=1 3. 求0sin 2lim ln(1)x x x →+ 4. xx x cos 111lim 20--+→解: 00sin 22lim lim 2ln(1)x x x xx x →→==+ 解：)11(2sin )2(2)11(2sin 211lim222222++=++-+→x xx x x x x1=5. 设82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x , 求数a 的值.解: 2ln 831lim 2lim 333=⇒==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+--∞→∞→a e a x a a x a x a ax ax aax x x x6. 求,a b , 使得21lim ()01x x ax b x→∞++--=+. 解: 21lim 1(1)x x a x x ∞→++==+,（2分）22211lim ()lim ()111x x x x x xb x x x∞→+→∞+++--=-==-++．(2分)得得分四．用分析定义证明（本大题满分'15, 每小题'5） 1. 证明：lim 1,n n a →∞=其中(1)a >.证明: 设1,(1)11n n a a nh h nh a h -≥+⇒≤-==+,(2分) 对10,[]a N εε-∀>∃=, 当n N >时, |1|1n na a ε-≤-<.(3分) 所以lim 1,n n a →∞=2. 证明：2)32(lim 21=++-→x x x证明：()221232+=-++x x x （2分）．故对0ε∀>，εδ=∃，当δ<+<10x 时，ε<-++2322x x ．（3分）3. 证明：2lim cos cos 2x x →=.证明: 对0ε∀>,δε∃=,当0|2|x δ<-<时,(2分)22|cos cos 2|2|sin si |22|2n |x x x x ε+≤--=<-, 所以2lim cos cos 2x x →=.(3分)五. 证明题（本大题满分18', 每小题'6）1. 证明极限01lim sin x x →不存在.证明: 对012ε=(2分), 0δ∀>, 设正数1n δ>, 令11',''222x x n n πππ==+,(2分)则有0011',''(0;),|sinsin |1'''U x x x x δε∈-=>,(2分) 所以极限01lim sin x x→不存在.2. 设{|(0,1)},S x x =为上的有理数 求S 的上下确界,并用定义验证.解:sup 1,inf 0S S ==.(2分)下面验证sup 1,S =对x S ∀∈有1x <,对1,α∀<若00120,(0,1),x x αα≤∃∈=>. 当01α<<时, 根据实数的稠密性,存在有理数r 使得1r α<<. 所以sup 1;S =(2分) 下面验证inf 0,S =对x S ∀∈有0x >,对0,α∀>若00121,(0,1),x x αα≥∃∈=<. 当01α<<时, 根据实数的稠密性,存在有理数r 使得0r α<<. 所以inf 1.S =(2分)3. 设0a >, )1(211a a a +=，⋅⋅⋅=+=+,2,1),1(211n a a a nn n 。

判断数列{}n a 的收敛性，若收敛, 并求其极限.解:因为0a >,111111(),(),1,2,2211,nn n a a a a n a a +≥≥=+=+= (2分)121111()0()22n n n n n n n a a a a a a a +--=+-=≤,,1,2n = (2分)所以数列n ｛a ｝是单调递减且有下界, 则数列n ｛a ｝的收敛,(1分) 设lim 1,1n n a a a a →∞=⇒==-(舍去). 所以数列n ｛a ｝收敛, lim 1n n a →∞=.(1分)六. 证明题（本大题满分10'）用分析定义证明归结原则：设f 在);(00δx U 上有定义，A x f x x =→)(lim 0的充要条件是：对于任何含于);(00δx U 且以0x 为极限的数列{}n x ，都有A x f n n =∞→)(lim. 证明：必要性 设A x f x x =→)(lim 0，则对0ε∀>，存在正数)('δδ≤，使得当'00δ<-<x x 时，ε<-|)(|A x f ．（2分） 另一方面，设数列{}n x 含于);(00δx U 且0lim x x n n =∞→，则对上述的'δ，0>∃N ，当n N >时有'00δ<-<x x ，从而ε<-|)(|A x f n ，即A x f n n =∞→)(lim ．（3分）充分性 设对任何含于);(00δx U 且以0x 为极限的数列{}n x ，都有A x f n n =∞→)(lim .用反证法，若当0x x →时f 不以A 为极限，则00>∃ε，0>∀δ，x ∃使得'00δ<-<x x 时0|)(|ε≥-A x f ．取δδ='，2δ，3δ，．．．，nδ，．．．，则得到数列{}n x 使得nx x n δ<-<0，而0|)(|ε≥-A x f n ．（3分）数列{}),(00δx U x n ⊂且0lim x x n n =∞→，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A ，与假设矛盾．所以必有A x f n n =∞→)(lim ．（2分）得得分七. 证明题（本大题满分5'）设10<<r ，c 是一个正的常数。

如果数列{}n x 满足N n r c x x n n n ∈∀<-+,||1。

用柯西收敛准则证明：n n x ∞→lim 存在。

证明：0>∀ε，不妨设rc-<1ε和n m > n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-=-+++-1211n n m m m m x x x x x x -++-+-≤+++-1211ε<-<+++=+++≤----rcr r r cr cr cr cr nn m n n m m 11)1(121 ．(3分) 故取=N rc r ln ))1(ln(ε-，当N n m >>时有ε<-n m x x ．由柯西收敛准则可知n n x ∞→lim 存在．（2分）。