1．1 集合的概念
第1课时 集合的概念答案
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个．
解析：选C.①是正确的，②中10
5
＝2∈N *，③中－4＝－2∉N *，④4＝2∈N 是正确的，故①④正确． 解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3.
答案：3
集合的概念
【解】 (1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(5)“体重超过75 kg ”是确定的，所以可以构成一个集合．
(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
1．解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．
2．解：(1)CBA 的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
元素与集合的关系
【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数． 因此，①②③正确，④错误．
(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，
a ∈N 且4－a ∈N ，
若a ＝0，则4－a ＝4，
此时A 满足要求；
若a ＝1，则4－a ＝3，
此时A 满足要求；
若a ＝2，则4－a ＝2，
此时A 含1个元素不满足要求．
故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
1．解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，
令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z .
所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，
k ＝－73
∉Z .所以－5∉A . 答案：∈ ∉
2．解析：因为1∉A ，2∈A ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0， 即－4<a ≤－2.
答案：－4<a ≤－2
集合中元素的特征及应用
【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，
即a ＝±1.
当a ＝1时，集合A 中有重复元素，
所以a ≠1；
当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1.
【答案】 －1
1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？
解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，
所以a ≠a 2，
即a ≠0且a ≠1.
2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？
解：因为2∈A ，
所以a ＝2或a 2＝2，
即a ＝2或a ＝± 2.
3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？
解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.
1．解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
2．解：因为A ＝B ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合，
所以x ＝－1.
1．解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．
2．解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a
＝1∈N . 3．解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．
4．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，
解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，
当m ＝0或m ＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m ＝3时，满足题意，
故m ＝3.
答案：3
[A 基础达标]
1．解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．
2．解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.
3．解析：选A.因为2∈A ，
所以2×22＋2a ＋2＝0，
解得a ＝－5.
4．解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .
5．解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x .
当x ＝0时，它们均为0；
当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；
当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
6．解析：因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .
答案：∉ ∈
8．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b
＝2； 当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b
＝0； 当a <0且b <0时，
|a |a ＋|b |b
＝－2. 所以集合中的元素为2，0，－2.
即元素的个数为3.
答案：3
9．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.
若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a 的值为0或－1.
(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.
当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；
当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1.
10．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ；
因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36
，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .
[B 能力提升]
11．解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.
12．解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.
13．解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.
答案：6
14．解：因为2∈A ，所以11－2
＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12
∈A ，
所以11－12
＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12
这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个：－1，12
，2. [C 拓展探究]
15．解：①数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2
＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集．
②数集Q ，R 是“闭集”．
由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，
即a ±b ，ab ，a b
(b ≠0)仍是有理数， 所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。