1)τ是映射 : 2)τ是满射 : 3)τ是单射 :
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所以τ是双射又显然在τ之下有
aN ⋅ bN = abN → ϕ (ab)N = ϕ (a)ϕ (b)N =
ϕ (a)N ⋅ ϕ (b)N,
故τ是 G N 到G N 的同构映射.
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推论 是群G的两个正规子群 设H,N是群 的两个正规子群 且 是群 的两个正规子群,且
例2 设S3,S4分别为三、四次对称群 4为Klein 分别为三、四次对称群,K 四元群. 证明: 四元群 证明
S4 K 4 ≅ 因为S3≤S4，又因为 因为 ，
K 4 <S 4
（1） ）
K 4 <S3 K 4 ≤ S 4
S3 ⋅ K 4 S3 I K 4
再由于S 中每个置换把4变为 变为4， 再由于 3中每个置换把 变为 ，故S3∩K4＝{(1)}. 从而
G H ≅G N H N
N⊆H
则
例1 设H,K是群 的两个正规子群 证明 是群G的两个正规子群 证明: 是群 的两个正规子群.证明
G HK ≅ G H HK H
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定理2 定理2 (第二同构定理 设G是群 又 第二同构定理) 是群,又 第二同构定理 是群 则 H ≤ G, N <G. 并且
H = H N; 再由上节定理 4 ,由于 G 中含 N 的不同子群其象 也不同 , 故可知这样的 H 也是唯一的 .
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2)当H是 G N 的正规子群时 ,由1)及第一节定理 2知 , G有唯一正规子群 H ⊇ N使H = H N .又由于在自然 同态 G~G N 之下有 H ⊇ N, 且H的象是 H N .故有第一同构定理知 , G H ≅ G N H N.
同态满射,又 同态满射 又 Kerϕ ⊆ N <G, N = ϕ ( N ), 则
G N N .
证:
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因为N<G, 又ϕ是满同态, 故N = ϕ (N)<G.现令
τ :G N → G
下证τ是商群 G
N xN → ϕ (x)ϕ (N) (∀x ∈ G).
到 G 的一个同构映射 . N N
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小结 三个同构定理内容及应用 作业： 作业：3. 4
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H = H N且G H ≅ G N H N.
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证 : 1)设自然同态 σ :G ~ G N 之下 H 的逆象为 H. 则 N ⊆ σ -1 ( H ) = H ≤ G, 且因 σ 是满同态 , 故由习题 1.6 知 :
σ (H) = σ [σ -1 ( H )] = H . 但由习题 3.3 第三题知 , σ (H) = H N , 故
H I N <H ,
HN N ≅ H ( H I N ) .
证 : 因为H ≤ G, N<G, 故HN ≤ G, 且N<HN. 又易知
ϕ : x → xN (∀x ∈ H)
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是子群H到商群HN N的同态满射, 且核为H I N, 故由群同态基本定理知: H (H I N) ≅ HN N . 从而定理成立 .
S3 K 4 =
= 24
S 4 K 4 = S3 K 4 K 4 ≅ S3 ( S3 I K 4 ) ≅ S3
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定理3 定理3 (第三同构定理 设G是群 又 N <G, H ≤ G N . 第三同构定理) 是群,又 第三同构定理 是群 则 1) 存在 的唯一子群 H ⊇ N , 且H = H N ; 存在G的唯一子群 2) 又当 H < G N时, 有唯一的H<G使
近世代数
§4 群的同构定理
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本节主要介绍群的三个同构定 理.这三个定理在群论研究中都非 这三个定理在群论研究中都非 常重要. 常重要
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定理1 定理1 (第一同构定理 设 第一同构定理) 第一同构定理
≅ G
是群G到群 ϕ 是群 到群
G 的一个