定理4 任何一个群都同一个变换群同构
假定G是一个群， G的元是a, b, c,。任意取x G, 则
x : g gx g x 是G的一个变换。因为对 G的任意元g ,
我们能够得到一个唯一 的G的元g x。这样由G的每一个元 x， 可以得到G的一个变换 x。把所有的这种 G的变换作成一个 集合G { a , b , c ,}. 那么
a3b3 = (ab)3， a5b5
= (ab)5
例6，若群G的每一个元都适合方程 x2 = e,那么G是交换群 例7，在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数 例8，假定G是一个阶是偶数的有限群。 则在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。
例9， 设<G,*>为群，a,b∈G,且a*b=b*a. 证明：若|a|与|b|互素，则 a |a*b|=|a||b| 例10，设<G,*>为交换群，a为G中阶最大的元，且|a|=n.
: x x 是G到G的满射。
但消去律： x y gx gy告诉我们： 若x y, 那么 x y 所以是G与G 间的一一映射。
再进一步看， g
xy
g ( xy ) ( gx) y ( g ) y ( g )
x
x y
g
x y
即： x y xy 所以是G与G 间的同构映射。所以 G 是一个群。 但G的单位元e的象
例1 ，
A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， f1：a → 1 ， f2：a → -1 f3：奇a → -1 , 偶a → 1
B:×
定理1 (1) f(e)=e’;
设f是G到G’的一个同态，则
(2) 对任意a∈G,f(a-1)=f(a)-1;
(3)kerf={a|a∈G,f(a)=e’}是G的子群，且f是单同态 的充要条件是kerf={e}; (4) f(G)={f(a)|a∈G}是G’的子群，且f是满同态 的充要条件是f（G）=G’; (5)设H’是群G’的子群，则集合 f-1(H’)={a∈G|f(a)∈H’}是G的子群。
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个 变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限 例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 例4，设G为群， a, b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
①τ1，τ2是一一变换，则τ1τ2也是 ② 结合律 ③ 左单位元 ④τ是一个任意的一一变换 ，则有τ-1： （第一章） τ-1：
1
aa
1
假如
1
(a
) a
所以τ-1τ：
a (a ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法 作成的一个群叫做A的变换群。 此群的元素不是数
a A, : a
假定aτ= bτ则 ∴ τ是单射
1
(a
1
) a
1
1
a a 所以τ是满射
(a )
1
(b )
a b a b
定理3：一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G
证明：G适合群定义的I, II, IV, V四个条件
1
S , 1
即τ1没有逆元
S一般不是一个群(逆元不能保证)，但S的一个子集G呢？ 先看G作为一个群的必要条件 定理2：G是由A的若干变换所成集合，且G中包含恒等变换ε 若对于上述乘法来说G作为一个群，那么G只包含A的
一一变换。
证： G, 1 G, 1 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律 IV. εG显然不包含A的所有的一一变换，G是较小的变换群。 如：
S有单位元，恒等变换ε，ε：a→a
例3 计算例1中变换的乘积 τ1τ2： 1→2 τ2τ4： 1→1 2→2 2→1 τ 1 τ 2 =τ 2 τ2τ4=τ1
但τ不一定有逆元
例4 例1中τ1，用一个任意的τ左乘τ1，得到
1 : 1 (1 ) 1, 2 (2 ) 1
这就是说
1
证明：对于任意b∈G,|b||n
1 : (0,0) (1,0) 2 : 绕原点逆时针旋转
2
1 2 : (0,0) (0,1) 2 1 : (0,0) (1,0) 1 , 2 , 1 2 , 2 1 都是A的一一变换
1,1 2 , 21 都不在G中。
定理3所得的变换群是最大的变换群
变换群
前面的例子：普通数、普通加法、乘法 或阶为1、2或3的抽象群，且是交换群
下面研究：非交换群、群的元素不一定是数
例2 A={1，2} τ1：1→1 2→1 τ2：1→2 2→2
τ3：1→1 2→2 τ4：1→2 2→1
是A的所有变换 对于给定集合A, S={τ，λ，μ，… } , A的所有变换 记号 τ：a→a′=τ(a) = aτ 规定，τ，λ的乘积 τλ：a→(aτ)λ，则此乘法满足结合律 τ(λμ)：a→(aτ)λμ=((aτ)λ)μ