沿x=0边，位移对y来说，各点为零，是直线。
故第2个边界条件又可以写为 这样，铰支边的两个边界条件都可以写成位移形式
3）自由边 在自由边上，所有的外力 都是等于零。对于x=a边，可
以列出三个边界条件
但是，挠曲面方程是一个四阶偏微分方程，在任一边缘上只 有两个边界条件，因此上述三个边界条件方程需要合并。由于扭 矩是由边界面上的相反方向的剪力形成的，因此我们可将上面的
矩形板，在竖直荷载作用下，不仅产生分布于边界上的作用力， 而且还产生在板角点处的集中力。如果x=a和y=b是两条铰支 边，在两条边的相交点，有集中力的合力为：
C
A
B
如果AB和BC为自由边，且在点B也没有任何支柱对薄板
施加集中反力，那么，在点B还须补充角点条件
，即
如果在B点有支柱阻止挠度发生，则上列条件应改为：
联立求解得
将解得的常数代入，可求得具有广义简支边的不受荷载
的矩形板的挠曲面表达式为
并由上式不难验证，在y=b的广义简支边的剪力不为零，而为
按同样的推导过程，可以分别导得矩形板的其它三个边为 广义简支边时的挠曲面方程。
3） 边缘承受分布弯矩的矩形板 考察左图所示的简支板
在y=0边承受分布弯矩
以下建立这种情况的解
支点反力则为
4）弹性固支边 设矩形板的边缘x=a是与一支 承梁固结，如左图a所示。在这种 情况下，板在x=a边竖向位移不为 零，在这一边线上板的转角也不 为零，同时也存在弯矩，这种边 就是弹性固支边。 对于弹性固支边，应考虑板 边与支承梁间的变形相容条件建 立边界条件关系。
这种边界条件的变形相容条件是：沿支承边边缘的挠度不为 零，而等于梁的挠度；沿支承边缘的转动等于梁的扭转。
边界条件2和3合并为竖向分力之和 Vx ，则有边界条件为
下面的问题是把Vx的表达式写出来。如果将边缘截面沿 y方向 等分为若干长度为dy的微段，在每一个微段，将扭矩用两个方向 相反的力代替（这种代替引起的影响是局部的），这样可计算出由
扭矩引起的分布剪力为
，因此在边界上的竖向分布力为
对于右图，假如 将x=a边分为若干段，
对于薄板，根据其挠度与板厚的比值，分为大挠度与小 挠度问题。薄板在外作用下，挠度不超过其厚度的1/5～1/4 的板，称为小挠度薄板问题。
小挠度薄板问题是线弹性问题，简单问题可给出理论解
对于我们本章所研究的弹性薄板，同样需要弹性力学的 材料是均匀的、连续的、各向同性的和线弹性的假设。除此 之外，还需要引进三条基本假定。这三条假定称为kirchhoffLove(克希霍夫.勒夫）假设。
对于板，根据平面两个方向的尺寸与厚度尺寸的相对比 例，又可以分为厚板、薄板和薄膜。
用a/t、b/t分别表示板长和宽与板厚的比，当两者的较
小值小于5～8时为厚板，其力学行为更接近于实体单元；当 较小值的比值大于5～8、小于80～100时为薄板，就是一般所 说的薄板结构；当较小值的比值大于80～100时，则为薄膜， 可按薄膜结构进行分析。
示单元体，对于正x面，有正应力和剪应力。对截面进行取矩和积分，
可得到截面内力。
由单位宽度上应力分量 x 合成的弯矩为：
=
=
引入符号D表示板的抗弯刚度, 于是得到：
按同样的过程可得到：
单位宽度上由
xy
合成的扭矩为
同样在垂直于y轴的横截面上，每单位宽度内的 可合成为：

xy
ห้องสมุดไป่ตู้
也
有了上述内力的表达式， 就可以根据力平衡条件建 立平衡方程。
其次，作用于板切口处的弯矩
对梁来说相当于一个
外扭矩，使梁发生绕自身轴的扭转。板在切口处的倾角 等于梁的扭转角Φ。梁轴单位长度扭转角的改变为
梁的内扭矩为 C为梁的抗扭刚度。梁的内扭矩单位长度的变化等于梁的外扭矩， 梁上正的外扭矩等于板边缘上的弯矩，因此有第2个边界条件
至此，我们建立了弹性薄板的挠曲线微分方程和常遇的边 界条件，以下我们将讨论方程的解。
每段长度为dy,则在第
一微段的扭矩为 M xydy 我们在微段的左侧与右 侧用一个大小相等、方 向相反的集中力来模拟 这一扭矩，根据弹性力 学的圣维南原理，这种 模拟的影响范围是局部的。对于与上一微段相邻的微段，其扭 )dy ，通过上述模拟后，在每一分点的剪力就 矩为 ( M M y M M 为 ，依次下去，就得到扭矩引起的分布剪力为 y
1.1.4
典型弹性薄板问题的理论解
考察左图所示的周边简支的矩 形板,在板上以x=ξ、y=η为中心， 在u×v面积上作用竖直力P，局部
1）板上作用局部荷载、周边简支的矩形板
面积上的荷载集度为
对于薄板的挠曲面方程
该板周边为铰支，它的边界条件是：
对于薄板的挠曲面微分方程，可以采用纳维叶的重三角级数
求解法。首先将位移函数w(x,y)在x=0与x=a以及y=0与y=b的区 间展开为富里叶级数并令其满足边界条件。 由于在边界条件中对w的各阶导数都是偶次的，因此可设
=0
由此可见，中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且 成为弹性曲面的法线。 3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即中面的任 意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上 的投影形状却保持不变。
1.1.2 薄板挠曲面的基本微分方程
1) 应力 根据前面的第一个假设，在距中面距离为z的A点，根据 弹性力学的理论，其位移u和v可以表示为：
这时板的挠曲面方程仍然是齐次方程，可设其解为
与前面相类似地推导，可以得到：
该板的四个边界条件是：
与前面的推导过程类似,将四个边界条件代入并求解,最后可 得这种情况的板的解为
式中： 同理，可以分别导得简支矩形板在其余三个边有分布弯矩 的挠曲面方程 有了上述几种情况的解后，我们可以利用叠加法来求解多 跨连续板和复杂边界条件的弹性薄板问题。
于是挠曲面的表达式w(x,y)为
若 挠曲面为
,则表示板上漫布均匀分布荷载，这时的
若集中荷载P作用在板的任意一个给定的点x=ξ、y=η时，则可应
用ami的表达式，并令u和v均趋于零，取极限得到集中力作用下 的板挠曲面表达式
通过以上过程就得到了四边简支的薄板在局部分布荷载作
用下的解，满布均布荷载和集中荷载是两种特殊情况。
曲面方程多了两项。 建立了薄板的挠度微分方程后，要对其进行求解分析。讨 论求解前，我们需要首先讨论边界条件。
1.1.3
边界条件
在这里我们只讨论具有直线边界的情况。对于弹性薄板，常
遇的边界条件有固支边、铰支边、自由边，以及一种特殊的边
界—弹性固支边 1） 固支边
特点：沿着固支边缘各点的
挠度为零；在固支边边缘处 与中面挠曲面相切的切面和
1.1.5 叠加法
薄板的小挠度问题属于线弹性问题，我们知道对线弹性问题，
叠加原理是成立的。与结构力学的力法相类似，考虑变形协调条 件，可以利用叠加原理来解决连续板和复杂边界条件薄板问题。
下面我们以一个不等跨长的两跨连续板的求解过程来说明叠加
原理的计算思路。所讨论的板与x轴平行的两条边缘均为自由的， 在左边的一跨板面上u × v局部面积上，作用的总荷载为P。 求解的过程是：先取基本结构，将板从中间支承线断开，使 之成为两块单独的矩形板I和II，并在每个断开截面上增加分布弯 矩来表示板与板之间的相互作用。为求解方便，把分布弯矩写成 级数形式。
, ,
1.1.1 基本假定 1） 垂直于中面的正应变微小，可以忽略不计。即板的竖向位移w与z无 关。写成数学表达式为：
于是：
2） 应力分量
、
zx
zy
和

z
xy
与其它三个应力 x、 y和
相比小得多，故由于它们引起的应变可以不计，（注意：应力本
身则是维系平衡的主要因素，不能不计）。于是有
在实际结构中，单独的四边简支边薄板是比较少的，常遇到 的多是连续多跨的板、或有固结或弹性固结的板，对这类问题，
我们可以采用结构力学力法的思路，通过利用叠加原理进行计算。
为解决复杂边界条件和连续板的内力计算，我们以下介绍一 种广义简支板的求解和边缘作用有分布弯矩的简支板的求解。 2） 广义简支边板
广义简支边是指有变形的简支边。通常的简支边挠度为零，
其中的m和i都是任意正整数，它能满足上述四边简支的弹性薄板
所有的边界条件。为了使挠曲面微分方程能够顺利地进行积分， 必须对荷载q(x,y)在同一区间内也展开为重富里叶级数:
其系数为 由于 它分布在面积上，故上式又可写为：
将上式积分出来,有
将w和q（x，y）代入挠曲面微分方程中，可以得到:
从上式我们可以解出Ami，
可以假定该齐次方程的解为级数形式：
将w的表达式代入齐次方程中，可得
只要函数Ym满足下述方程
则上式对于x的任何值都是满足的。而关于Ym 的齐次方程解为：
于是关于w的通解为:
为了确定上式中的积分常数，可以利用以下四个边界条件：
由第一个边界条件，可得
,由于
于是，由第三个边界条件有： 引入符号 利用另两个边界条件，可得到
1.1 弹性薄板理论分析
对于结构构件，力学分析中常根据其三维方向的相对尺
寸分为杆、梁、板（壳）和块体等类型。
杆的特点； 梁的特点； 板、壳的特点 一个构件简化为何种形式处理，不仅与尺寸相关，也与
所受荷载和所处的系统相关，同时与所关心的问题有关。
桁架结构的分析可处理为杆（桁架）、梁（框架）和板 壳等单元形式。
xy xy xy xy
y
写成与挠度相关的表达式，则有自由边的边界条件为：
同理，对于y=b的自由边，可写出边界条件为：
对于自由边x=a，按上面我们的讨论，除了截面上分布的 扭矩剪力 M 外，在两角点还有集中力 M xy ；同样在y=b边，
xy
y
在两角点有集中力 M yx 。这说明在边缘上以某种形式支承的