复变函数起源简介
• 数学从产生、有发展到现在, 已成为分支众 多的学科了, 复变函数是其中一个非常重要 的分支。以复数作为自变量的函数就叫做 复变函数, 而与之相关的理论就是复变函数 论。解析函数是复变函数中一类具有解析 性质的函数, 复变函数论主要就研究复数域 上的解析函数, 因此通常也称复变函数论为 解析函数论, 简称函数论。
面向量对应起来解决实际问题的缘故。
• 复变函数论产生于十八世纪。1774 年, 欧 拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的 积分导出的两个方程。而比他更早时, 法国 数学家达
朗贝尔在他的关于流体力学的论文中, 就已 经得到了它们。因此, 后来人们提到这两个 方程, 把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方程”。
• 我们知道, 在解实系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)时,如果判别式b^24ac<0, 就会遇到负数开平方的问题, 最简 单的一个例子是在解方程x^2+1=0 时, 就 会遇到开平方的问题。
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• 十六世纪中叶, 意大利卡尔丹( Cardan,1545) 在 解三次方程时, 首先产生了负数开平方的思想, 他 把50 看作5+5i 与5-5i 的乘积, 然而这只不过是一 种纯形式的表示而已, 当时, 谁也说不上这样表示 究竟有什么好处。
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• 到了十九世纪, 上述两个方程在柯西和黎曼 研究流体力学时,作了更详细的研究, 所以这 两个方程也被叫做“柯西- 黎曼条件”。关 于复数理论最系统的叙述, 是由瑞士数学家 欧拉( Euler) 作出的。他在1777 年系统地 建立了复数理论, 发现了复指数函数和三角 函数之间的关系, 创立了复变函数论的一些 基本定理, 并开始把它们用到水力学和地图 制图学上, 用符号“i”作为虚数的单位, 也 是他首创的。此后, 复数才被人们广泛承认 和使用。
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• 在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元n 次方程a_0x^n+a_1x^{n1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中 a_0、a_1、⋯a_n 都是复数, 在复数域内恒 有解。这就是著名的代数学基本定理, 它用 复变函数来解决是非常简洁的。又如, 在实 数域内负数的对数无意义, 而在复数域内我 们就可以定义负数的对数。
复变函数起源简介
• 复变函数论的全面发展是在十九世纪, 就像微积分的直接扩 展统治了十八世纪的数学那样, 复变函数这个新的分支统治 了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰 饶的数学分支, 并且称为这个世纪的数学享受, 也有人称赞 它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪, 复变函数 的理论经过法国数学家柯西( Cauchy) 、德国数学家黎曼 ( Riemann) 和维尔斯特拉斯( Weierstrass)的巨大努力, 已 经形成了非常系统的理论, 并深刻地渗入到代数学、解析数 论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支; 同时,它在 热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。
• 复变函数已成为我校的精品课程，其网址 是：
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第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保形映射
复变函数起源简介
• 二十世纪以来, 复变函数已经被广泛应用到 理论物理、弹性理论和天体力学等方面, 与 数学中其它分支的联系也日益密切。致使 经典的复 变函数理论, 如整函数与亚纯函数理论、解 析函数的边值问题等有了新的发展和应用。 并且, 还开辟了一些新的分支, 如复变函数 逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多 复变函数论、广义解析函数论以及拟保形 变换等。另外, 在种种抽象空间的理论中, 复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
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• 为复变函数论的创建做了最早期工作的是 欧拉、达朗贝尔, 法国的拉普拉斯也随后研 究过复变函数的积分, 他们都是创建这门学 科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的 要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特 拉斯。二十世纪初, 复变函数论又有了很大 的进展, 维尔斯特拉斯的 作了大量的研究工作, 开拓了复变函数论更 广阔的研究领域, 为这门学科的发展做出了 贡献。
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• 从20世纪30年代开始，以华罗庚、熊庆来、庄圻 泰、李国平、余家荣、杨乐与张广厚为代表的我国数 学家在单复变和多复变函数方面，做过许多重要的工 作。在20世纪40年代、50年代，我国著名的数学家 华罗庚在多复变数典型域上的调和分析方面，作过许 多工作，其工作在调和分析、复分析、微分方程等的 研究中，有着广泛的影响。在70年代，我国著名的数 学家杨乐、张广厚在单复变函数的值的分布和渐近值 理论中，得到了首创性的重要成果。从80年代开始， 我国的数学工作者在数学的各个领域中开展了富有成 效的研究工作，这些都受到国际数学界的高度重视。
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• 从柯西算起, 复变函数论已有170 多年的历 史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成 为数学的一个重要组成部分。它曾经推动 过一些学科 的发展, 并且常常作为一个有力的工具被应 用在实际问题中。现在, 复变函数论中仍然 有不少尚待研究的课题, 所以它将继续向前 发展, 并将取得更多应用。
• 为了使负数开平方有意义, 也就是要使上述这类方 程有解, 我们需要再一次扩大数系, 于是就引进了 虚数, 使实数域扩大到复数域。但最初, 由于对复 数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们进行计算 又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人们把复数看作 不能接受的“虚数”。
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• 直到十七世纪和十八世纪, 随着微积分的发 明与发展, 情况才逐渐有了改变。另外的原 因, 是这个时期复数有了几何的解释, 并把 它与平