O
(t )3
Q ut aux
utt
aux
t
a ut
x
a 2u xx
u n1 j
u
n j
a(ux )nj
t
1 2!
a
2
(u
xx
)nj t 2
O
(t)3
(3.1.13)
Lax-Wendroff方法或Cauchy-Kowalewski方法：把Taylor展开式中的时间 导数项用空间导数代替。是推导差分格式的常用技巧。
u n1 j
1 cx
u
n j
则
u n1 j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
1
c x
u
n j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
un1 j
所以，MacCormack格式：
一种形式
预测步：u
n1 j
u
n j
c
xu
n j
校正步：u
n j
1
1 2
u
n j
u n 1 j
c
xu
n j
1
另一种形式
预测步：u
n1 j
讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程
u a u 0 t x
(3.1.1)
线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差分格式以及NavierStokes方程中对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造 方法具有非常重要的意义。
本节中，介绍的差分格式构造方法包括： (1) 基于导数逼近 (2) 基于特征理论 (3) 基于时间展开 (4) 基于算子分裂
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
t
x
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
稳定的条件：
a t c 1
x
无条件不稳定
为了综合考虑a 0和a 0两种情况，迎风格式可以改写为：
u n 1 j
u
n j
a
a
u
n j
un j 1
a
a
un j 1
u
n j
0
t
(2) a 0时，(3.1.6)的稳定条件是 c a t 1；a 0时，(3.1.6)无条件不稳定。 x
迎风格式(upwind scheme)：
顺风格式(downwind scheme)：
u n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
t
x
u n 1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
)n1 j
t
O
(t )3
u
n j
at 2
[ux )nj
ux
)n1 j
]
O
(t)3
对ux
)nj
和ux
)n1 j
用中心差分离散
ux
)
n j
un j 1
un j 1
2x
,
u
x
)
n1 j
u u n1
n1
j 1
j 1
2x
则 即
at 4x
u n 1 j 1
u
n j
1
at 4x
u n1 j 1
at 4x
un j 1
3.1.1 基于导数逼近的差分格式
构造差分格式的最简单的方法。 采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。
1. Euler显式格式
时间方向：前差。空间方向：中心差。
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j 1
0
t
2x
(3.1.2)
稳定性分析： 则
取
u
n j
=An
eikx
j
A e n+1 ikxj Aneikxj
u
n j
at 4x
un j 1
u
n1 j
u
n j
a
t 4x
u u n1 n1
j 1
j 1
a 4x
un j 1
un j 1
0
Crank-Nicolson格式是无条件稳定的。
3.1.4 基于算子分裂方法的格式
1. MacCormack格式：两步格式（预测步+校正步）
Lax-Wendroff格式：
u
n j
c
xu
n j
校正步：u
n1 j
1 2
u
n j
u n 1 j
c
xu
n1 j
对于线性对流方程，MacCormack格式和Lax-Wendroff格式是等价的。
但是，对于非线性问题，如流体力学方程组，二者不等价，MacCormack格式
更为简单有效。
2. 两步的Warming-Beam格式
Warming-Beam格式：ux用二阶迎风差分离散，uxx也用迎风离散，则
un1 j
u
n j
c 2
un j 1
un j 1
c2 2
un j 1
2u
n j
un j 1
改写成算子形式
u n1 j
1
c 2
x
x
c2 2
x
x
u
n j
1
c 2
x
x
c2 2
x
x
u
n j
1 2
1 2
1
c x
c x 2
1
c x
u
n j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
1
c x
u
n j
令
3. 由插值点内插出P点的值，差分格式才是稳定的。
CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件：An numerical method can be convergent only if its numerical domain of dependence contains the true domain of dependence of the PDE, at least in the limit as dx and dt go to zero.
或
记 c a t ，则
x
u n1 j
(1
c)u
n j
cu
n j 1
截断误差： L.T.E. O((x) (t))
稳定条件： 0 c 1 (a 0)
(2) 采用B、D两点线性插值
uP
uB
uD uB 2x
(x
at)
u
n1 j
1 2
un j 1
u
n j 1
a
u
n j 1
u
n j 1
0
t
G
at x
sin(k
x)
at x
sin(kx)
2
1
1
1
at x
sin(k
x)
2
0
1
at x
2
sin(kx)
0
稳定性的条件： c a t 1。 无量纲数c at ，称为CFL数或courant数。
x
x
截断误差：L.T.E. O((x)2 (t)2)
Courant – Friedrichs – Lewy
(3.1.5) (3.1.6)
稳定性分析：
(1) a 0时，(3.1.5)无条件不稳定；a 0时，(3.1.5)的稳定条件是 c a t 1。 x
a
0时，解析解u ( x,
t)
u0
(
x
at)，波动从左向右传播，u
nj 1不受u
n 的影响，
j 1
(3.1.5)违背了波的传播特性，从而造成格式的不稳定。
首先，由 u(xA ) uA，u(xB ) uB，u(xC ) uC 可以确定a0，a1，a2。
然后，把P点坐标代入 u(x) a0 a1x a2x2，得
即
uP
uB
uC uA 2x
(x
at)
uA
uC 2x2
2uB
(x
at )2
un1 j
u
n j
t
a
3u
n j
4u
n j 1
u
n j2
un1 j
u(xj
, (n
1)t)
uO
uP
u(xj
at,
nt)
由于P不在网格点上，P点的值必须通过A、B、C、D等点插值获得。
(1) 采用B、C两点线性插值
uP
uB
uC uB x
(x
at)
u n1 j
un j 1
u
n j
u
n j 1
x
(x
at)
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(迎风格式)
A e A e n+1 ikx j1
n+1 ikx j1
a
0
2t
2x
An +1 An
An1 An