Z [ax1 (k ) bx2 (k )] aX1 ( z) bX2 ( z)
(2)平移性质：设Z [ x(k )] X ( z ) ，则
Z [ x(k 1)] z[ X ( z ) x(0)]
Z [ x(k N )] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
N 1 k 0
Z [ x(k 1)] z [ X ( z) x(1) z]
Z [ x(k N )] z N [ X ( z )
k N k x ( k ) z ] 1
1
例2. 求解齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2 x(k ) 0, x(0) 0, x(1) 1
xk 1 x0 2 ( y k y k 1 2 y0 )
于是得
yk y0 ( xk x0 )
yk 1 y0 ( xk 1 x0 )
将上述两式整理得到二阶线性差分方程
2 xk 1 xk xk 1 2(1 ) x0 , (k 2,3,)
a0 yt n a1 yt n 1 an yt b(t )
为 n 阶常系数线性差分方程，其中 a0 , a1 ,, an 是常 数，a0 0 。其对应的齐次方程为
a0 yt n a1 yt n 1 an yt 0
求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解对应的特征方程
lim x x0，所以 P 若P 0 是稳定点，则应有 k k 0 点稳定的条件是
1
同理 P 0 点不稳定的条件是
1
4、模型修正
在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决 定商品的生产数量 xk 1时，不仅考虑前一时期的价格 yk ，而 y k y k 1 x g ( ) ，在 P 且考虑了价格 yk 1 ，取 k 1 0 附近取线性近 2 似，则有
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？
为 yt 的二阶差分。 yt 及 yt 的差分给出的方程称为 yt 的差分方程。 由t 、 yt 其中含 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。 t 差分方程也可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分 2 yt yt yt可以写成 0 方程
yt 2 yt 1 yt 0
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若 解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称 此解为该差分方程的通解。 称如下形式的差分方程
若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k 1 ) t cost (c1 ck t k 1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解 yt ，若 yt 为齐次方程的通解， yt。 yt 则非齐次方程的通解为 对特殊形式的特解 b(t ) 可以使用待定系数法求非齐次方 t pk (t )为 t 的 k 次多项式时可以证 程的特解。例如 b(t ) b pk (t ) ， t 明：若 b 不是特征根，则非齐次方程有形如 b qk (t ) 的特解， qk (t ) 也是 t 的 k 次多项式；若 b 是 r 重特征根，则非齐次方 t r 1 程有形如 b t qk (t ) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t ) ，从而得到非齐次方程的一个特解。
其特征方程为
22 0
经计算得其特征根
( ) 2 8 1,2 4 结论：若方程的特征根均在单位圆内，则 P 0 为稳定点。 当 8 时，该特征方程有两个实根，因
( ) 2 8 2 4 4 则有 | 2 | 2，故此时 P 0 不是稳定点。当 8 时，特征方 程有两个共轭复根，共轭复根的模的绝对值为
图1和图2中的折线 P1 P2 , P2 P3 ,形如蛛网，故把这种 模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f 取 决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平， g 取决于生产者的生产、管理等能力。 当已知需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳定性。当 | x1 x0 | P0 的稳定性取决于 f 和 g 在点 P0 的斜率， 较小时， 即对差分方程取 Z 变换得
z 2 X ( z) z 3zX ( z) 2 X ( z) 0
z z z X ( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1) k (2) k
图上的箭头表示求出 Pk 的次序，由图知
k
lim Pk ( x, y ) P0 ( x0 , y 0 )
即市场经济趋于稳定。
g 并不是所有的需求函数和供 应函数都趋于稳定，若给定 的 f 和 g 的图形如右图所 示，得到的 P 1, P 2 , 就不趋于 P0 ，此时市场经济 趋于不稳定。
2、模型假设
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。 (2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f ( xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。 (3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较 繁琐，下面介绍 Z 变换，将差分方程转化为代数方程去求解 设有离散序列x(k ), k 0,1,，则 x(k )的 Z 变换定义为
X ( z ) Z ( x(k )) x(k ) z k
k 0
其中 z 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部 X ( z ) 的 Z 反变换记作
例1. 求解两阶差分方程 yt 2 yt t
解 对应齐次方程的特征方程为 2 1 0，其特征根 y c cos t c sin t i 为 1,2 ，故齐次方程的通解为 t 1 2 2 2 ，原方程有形如 at b 的特解，带入原方程求得 a 1 / 2, b 1 / 2 ，所以原方程的通解为
xk 1 g ( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出 供应函数和需求函数的图形 ，设两条曲线相交于 P0 ( x0 , y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时 x0 g ( y0 ), y0 f ( x0 ) 若某个 k 有 xk x0 ，则可推出 yl y0 , xl x0 , l k , (k 1,) 即商品的数量保持在 x0 ，价格 保持在 y0 。不妨假设 x1 x0 下面考虑 xk , yk在图上的变化 如右图所示。
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型
第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
t
1、差分方程简介
规定 t 只取非负整数，记 yt 为变量在 t 点的取值， 则称 yt yt 1 yt 为 yt 的一阶向前差分，称
2 yt (yt ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
1 1 c1 cos t c2 sin t t 2 2 2 2


在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。 对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次 t ， 方程的通解中的任意常数如何取值，当 时， 则称方程的解是稳定的。 yt 0
2、常系数线性差分方程的 Z 变换解法
yk y0 ( xk x0 )
xk 1 x0 ( yk y0 )
从上两式中消去 yk 得 x k 1 x k (1 ) x0
( ) x k ( ) 2 x k 1 ( )(1 ) x0 ( ) 2 x k 1 ( ) 3 x k 2 ( ) 2 (1 ) x0 …………………………………………..
x(k ) Z 1[ X ( z)]
几个常用离散函数的

Z 变换
(1) 单位冲激函数 ( k ) 的 Z 变换
Z [ (k )] (k ) z k [1 z k ]k 0 1
k 0
(2) 单位阶跃函数U (k )的 Z 变换
Z [U (k )] U (k ) z
( ) 8 ( ) | 1,2 | 4 4
k 0

k
1 z
k 0

k
z (| z | 1) z 1
(3) 单边指数函数 f (k ) a k 的 Z 变换( a 为不等于1的正常数)
Z [a ] a z
k k k 0

k
z (| z | a ) za
Z 变换的性质
(1)线性性质 设 Z [ x1 (k )[ X 1 ( z ), Z [ x2 (k )] X 2 ( z) ，则
a0n a1n 1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解 若特征方程有 n 个不同的实根 1 ,, n，则齐次方程 t t 的通解为 c11 cn n ； 若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 k 1 t 为 (c1 ck t ) ； 若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 t t c cos t c sint ，其中 2 2 为 的模， 解为 1 1 arctan 的幅角； 为