傅里叶变换定理（5）
（6）傅里叶积分定理：在函数 g x,y 的各个连续点上有
F -1 F g x,y FF
-1
gx,y gx,y
FF g x,y F -1 F -1 g x,y g x, y
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而 对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的 “倒立像”。
Fg x* hx G f x H f x
即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积
Fg xhx G f x * H f x
而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积
卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。
二维不变线性系统的传递函数
如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为
F f x , f y f x, y exp j f x x f y y d xdy



同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为
G f x , f y g x, y exp j f x x f y y d xdy


根据卷积定理有
Hfx, fy
hx, y exp j f

x
x fy
y d xdy
即
G f x , f y H f x , f y F f x , f y
Hfx, fy
G f x , f y
称做不变线性系统的的传递函数






f x, y


F f
x
df x df y , f y exp j2 π f x f y x y
傅里叶反变换记作
F -1 F f x ,f y
傅里叶频谱概念和狄里赫利条件
根据欧拉公式， exp j2π f x x f y y 是频率为 f x , f y 的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 f x,y 是各种频率为 f x , f y 的余（正）弦函数的叠加，叠加 时的权重因子是 f x,y 。因此傅里叶变换 F f x , f y 常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和 狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域 里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而 且没有无穷大间断点”
傅里叶变换
G f F g x


g xexp- j2f xdx

(傅立叶变换)
g x F 1 G f G f exp j2πf x df



(傅立叶逆变换)
傅里叶变换定理（1）
（1）线性定理：如果
Fg x G f x , Fhx H f x
（波的叠加原理） 则有 Fgx hx G f x H f x
（2）相似性定理：如果 （缩放和反演定理） 则有
Fg x G f x
（单缝衍射，缝窄衍射变宽）
1 fx F g ax G a a
傅里叶变换定理（2）
（3）位移定理：如果
Fg x G f x
则有 Fg x a G f x exp j 2f x a
，函数在空域中的平移，带来频域中的相移
同时
Fg xexp j 2f a x G f x f a
，函数在空域中的相移，带来频域中的平移
空间频率的两种意义
空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数 称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数 信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的 图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限 制的，可以是无穷大 另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因 为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变 的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为： 光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方 向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。 下章再详细讲这两者区别
二维傅里叶变换定义
若函数 f x,y 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅 里叶变换定义为
F f x ,f y f x,y exp - j2π f x x f y y dxdy
傅里叶变换记作 F f x,y 函数 F f x ,f y 的傅里叶反变换为
关于存在性的两点说明
在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函 数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说， 物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来 看，可以认为傅里叶变换总是存在的
在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、 阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都 不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于 这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换 可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义 和广义的区别
傅里叶变换定理（3）
（4）帕色伐（Parseval）定理： Fg x G f x 如果 则有：



g x dx G f x df x
2 2

该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。
傅里叶变换定理（4）
（5）卷积定理：如果
则有
Fg x G f x , Fhx H f x
F fx , f y
传递函数的意义
空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子 • 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不 同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递” 为输出过程中的作用，因而称为传递函数 传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各 种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些 基元成分的初位相 传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作 位相传递函数