函数的最值与导数 公开课
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提炼升华
一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下: (1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值;
(2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函 数y=f(x)的各极值比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值。
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讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象,你能找出它的极大值和极 小值吗?你能找出它的最大值,最小值吗?
y
极大值:f (x2),f (x4),f (x6) 极小值:f (x1),f (x3),f (x5) 最大值:f (a) 最小值:f (x3)
o
a x1 x 2
x3
x4
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课堂小结
1.规律总结;
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续 不断的曲线,那么它必定有最大值和最小值。
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课堂小结
1.规律总结;
2.函数存在最值的的条件;
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
高二数学 李珂珂
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复旧知新
问题一:函数极值相关概念
(1)若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函 数值都小,满足f '(b)=0且在点x=b
f(b)
y
a
b 0 f(a)
x
附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则
3.一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值; (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
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布置作业
作业: 课本P31页:练习 (2)(4)题 练习册: 课时作业(9)
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谢谢指导!
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课堂小结
1.规律总结;
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地,求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
(1)函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的,是整 体概念; (2)从个数上看,一个函数若有最大值或最小值,则至多只有 一个最大值或最小值; (3)最值可能在极值点取得,也可能在端点处取得。
典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解:f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0,得 x=4或 x= -4(舍)
当-3< x < 4时,f'(x) >0,函数单调递增;
当4< x <5时,f'(x)<0,函数单调递减;
把点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
(2)若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
y y=f(x) y y=f(x)
y=f(x)
o a
x
b y=f(x) o a b x o a b x
y结论xFra biblioteko ab
在开区间内的连续函 数不一定有最大值与最小 值。 若有最值,一定在极值点 处取得。
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性质探究
探究问题2:闭区间上的最值问题
如图,观察[a,b]上的函数y=f(x)的图像,它们在[a,b]上有 最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么? y=f(x) y y=f(x) y
所以当x=4 时,函数取得极大值,且极大值 f (4)=128; 又 f (-3)= -117, f (5)=115 所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128,最小值为 117.
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巩固练习
求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值 解:
f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1), 令 f'(x)=0,得 x=-1或 x=2(舍) 当-2< x < -1时,f'(x)>0,函数单调递增; 当-1< x <1时,f'(x)<0,函数单调递减; 所以当x= -1时,函数取得极大值,且极大值f (-1)=12; 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8
x5
x6
b
x
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规律总结
最值特点:
(1)函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的,是整体
概念;
(2)从个数上看,一个函数若有最大值或最小值,则至多只有一 个最大值或最小值; (3)最值可能在极值点取得,也可能在端点处取得。
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性质探究
y
探究问题1:开区间上的最值问题
如图,观察(a,b)上的函数y=f(x)的图像,它们在(a,b)上 有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值在什么位置取到?
o a o b x a x1 x2 x3 x4 b x
一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么它必定有 最大值和最小值。
结论
特别地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单 调函数,则最值则在端点处取得。
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牛刀小试
例1 .给出下列说法:
(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大 值便是最大值,极小值便是最小值。 (2)在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 (3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值; 反之,若有极值,则一定有最值。 (4)若函数在给定的区间上有最值,则最多有一个 最大值,一个最小值;若函数有极值,则可有多个极 值。 其中说法正确的有( (4) )
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复旧知新
问题二:一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是什么?
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时: (1)如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ,右侧 f '(x)<0 ,那么f
(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值;