1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
L
(xn x )2 ]
计算标准差的算法：
S1 算出样本数据的平均数x； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
xi x （i=1，2精，选整…理 …，n）；
6
S3 算出 (xi x )2 （i=1，2，…，n）；
S4 算出 (xi x )（2 i=1，2，…，n）这n个 数的平均数，即为样本方差s2；
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10
解：按键
MODE 2 (进入统计计算状态) SHIFT clR 1 = 将计算器存储器设置
成初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT S-VAR 1 = 1476.2
一人参赛.
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13
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7； s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
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（3）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
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18
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16
4.在数据统计中，能反映一组数据变化
范围大小的指标是
（A）
A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
5.已知一个样本1，3，2，5，X，若它的平均
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 , ，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
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9
例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机 地抽取10只进行寿命测试，得数据如下 （单位：h）:
1458，1395，1562，1614，1351，1490， 1478，1382，1536，1496
使用函数型计算器求样本的平均数x和样 本的标准差。
2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的
数字特征（二）
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1
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是
平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因为
这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情
况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概
括样本数据的实际状态．
又如：有两位射击运动员在一次射击测试中
那么我们用它们的平均数，即
s2
1 n
[(
x1
x
)2
(
x2
x
)2
L
(xn
x)2]
来衡量这组数据的波动大小，并把它
叫做这组数据的方差，一组数据方差越
大，则这组数据波动越大。
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5
（2）标准差：我们把数据的方差的算术 平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
量。
s
12
例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射
击比赛，对他们的射击水平进行测试，两
人在相同的条件下各射击10次，命中环数
如下﹕
甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平
均数和标准差；
（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
x b ，方差为 s2 ．
（2）新数据 ax1, ax2,, axn的平均数为ax ，
方差为 a2s2 ．
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为
a
x
b ，方差为
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a
2
s

2．
15
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
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17
五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征常分两类： 用样本平均数估计总体平均数。 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样 本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大 小，反映了一组数据变化的幅度．
4 5 6 7 8 9 10 (甲)
环数
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10
环数
(乙)
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3
数据的离散程度可以用方差或标准差 来描述。
为了表示样本数据的波动幅度，通常 要求出样本方差或者它的标准差.
用样本的标准差或方差估计总体的标准 差或方差。
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4
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平 方分别是 (x1 x )2 , (x2 x )2,L , (xn x )2
S5 算出方差的算术平方根，即为样本标 准差s。
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7
例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
11
8
3
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4
9
8
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲
7，x 乙
7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水
平就没有什么差异吗? 精选整理
2
频率
0.3 0.2 0.1 频率
练习：
(1)若x1, x2 , , xn的方差为4，那么 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为_4___
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为__1_2_____
SHIFT S-VAR 2 = 78.7309342
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11
例3.计算数据89，93，88，91，94，90， 88，87的方差和标准差。（标准差结果 精确到0.1） 解：x 90 1 (1 3 2 1 4 0 2 3) 90
8
.
所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
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