3)离差——测量值与有限次测量的平均值之差
di＝xi - x
4)引用误差——绝对误差与仪表的测量上限或仪表的
量程之比有限次测量的平均值之差
2
A
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•对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但 对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其 测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。
0.02172 0.08132 0.06232 0.04072 0.03172 ) 25.8289104
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最后得实验标准差为：
s(xk ) 25.8289104 0.0508
若t取2，则测量列的 随机误差为土2s(xk)= 土0.1016 (V)。
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1 (12.236 12.2143)2 (12.13312.2143)2 (12.152 12.2143)2 11
1 (12.255 12.2143)2 (12.246 12.2143)2 11
1 (0.09132 0.01972 0.02072 0.01872 0.07232 0.00772 11
则其算术平均值是：
x
1 n
n i 1
xi
12.123 12.234 12.235 12.133) 12
12.142 12.233 12.222 12.236) 12
12.152 12.255 12.253 12.246) 12
12.2143
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它的实验标准差是（由于标准差没法直接计算，实际操作中
一、系统误差的分类
任何测量，首先要把系统误差限制在允许范围 内；如果无法补偿系统误差，则应修正测量结 果。系统误差属于可消除误差。 1.根据系统误差的变化分类
• 恒值系统误差（固定系统误差）——测量中 大小和符号都不变。 • 变值系统误差——在测量中大小或符号按一 定规律变化，变化规律可分为三种： 线性，周期性，复杂变化，例如指数规律。
误差和读数误差
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二、系统误差对测量结果的影响
1.恒值系统误差对测量结果的影响
不含系统误差的测量值的平均值
系统误差
x
1 n
n i 1
xi
1 n
n i 1
(xi
0) x 0
测量值
x x0
测量值的算术平均值中包含恒值系统误差，修正的方法
是在测量结果中引入与系统误差大小相等而符号相反的
对于具体的测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的 精密度不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
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第六章 测量误差分析
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第二节 随机误差
一、随机误差的产生原因
1.测量装置方面的因素——零部件配合的不稳定 性、变形、表面油膜不均匀、摩擦。
2.环境方面的因素——温度的细小波动、湿度与 气压的微量变化、光照强度变化、灰尘、电磁 场变化。
汽车测试技术
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第六章 测量误差分析
本章学习要求：
1.掌握真值与误差的概念 2.掌握误差的类型和分析方法 3.了解测量结果的误差分析方法
第六章 测量误差分析
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第一节 误差的基本概念
一、误差的定义及表示法
1.真值——某个物理量在某一时刻和某一位置的 客观存在的真实值。
多次重复测量，可减少随机误差。
3.粗大误差——超出在规定条件下预期的误差， 明显与实际值不符。剔除异常值
如测量时对错了标志、读错了数、用有缺陷的仪器
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三、精度——反映测量结果与真值接近程度的量，称 为精度，它与误差的大小相对应。
1.准确度——反映系统误差的影响程度。 2.精密度——反映随机误差的影响程度。 3.精确度（精度）——反映系统误差和随机误差综合 的影响程度。
都用实验标准差来代替σ，即用算术平均值代替真值）：
s2 (xk
)
1 n 1
n
( xk
k 1
x)2
1 (12.12312.2143)2 (12.234 12.2143)2 (12.142 12.2143)2 11
1 (12.235 12.2143)2 (12.23312.2143)2 (12.222 12.2143)2 11
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2.分散性的测量
• 当总体有有限个元素时，总
体的标准差：
N (xi )2
i 1
N
• 样本标准差：贝塞尔（Bessel）
公式
s n (xi x )2 i1 n 1
用样本的数据估计总体标准离差时，常用样本标准差。
而σ2称为总体方差，s2称为样本方差。
测量列算术平均值的标准差
•例：用两种方法测量L1＝100mm的尺寸，其测量误差分别为 Δx1＝±10μm， Δx2＝±8μm，根据绝对误差的大小，可知后 者的测量精度高。但若用第三种方法测量L2＝80mm的尺寸， 其测量误差为Δx3＝±7μm，此时用绝对误差就难以评定它与 前两种方法精度的高低，必须采用相对误差来评定。
•第一种方法的相对误差为： Δr1＝ Δx1 /L1=±10 μm /100mm= ± 0.01%
（2）算术平均值的极限误差 测量列的算术平均值与被测量的真值之差
x x A0
当多个测量列算术平均值误差为正态分布时，得到 测量列算术平均值的极限误差表达式为
lim x t x
式中的t为置信系数，为算术平均值的标准差。
通常取t=3,则 lim x 3 x
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第三节 系统误差
4
4σ
0.9999
0.0001
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当t=3时，即|δ|=3σ 时,误差不超过|δ|的概率为99.73%, 通常把这个误差称为单次测量列的极限误差δlimx,即 δlimx =±3σ
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例：测量电压时的测量列为：12.123；12.234； 12.235；12.133；12.142；12.233；12.222； 12.236；12.152； 12.255；12.253；12.246。
3.人员方面的因素——瞄准、读数的不稳定。
二、随机误差的正态分布
• 对称性——绝对值相等的正 负误差出现的概率相等；
• 单峰性——绝对值小的随机 误差比绝对值大的出现的机 会多；
• 有界性——在一定条件下， 绝对值不超过一定范围；
• 补偿性——当测量次数增加 到无限多时，随机误差的算 术平均值趋于零。
在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度 等级所确定的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。
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最大允许误差
• 指示仪表的最大满度误差不许超过该仪表准确度等级 的百分数，即
nm
xm xn
100%
a%
当示值为x时可能产生的最大相对误差为
rm
xm x
a%
xn x
用仪表测量示值为x的被测量时，比值越大，测量结 果的相对误差越大。选用仪表时要考虑被测量的大小 越接近仪表上限越好。被测量的值应大于其测量上限 的2/3。
• 实际上，真值不能确定，使用的是约定真值。 • 例如：使用更高一级精度仪表的测量值。
用算术平均值代替。
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2.误差——测量值的测得值与真值之间的差。
1)绝对误差——简称误差
＝x - x0
2)相对误差——绝对误差与真值之比值（更说明问题）
相对误差是无名数，1 通x0常以百分数（％）来表示。
r0
绝对误差 ＝
测量范围上限 L
100%
如果以测量仪表整个量程中，可能出现的绝对误差最大值δm
代替δ，则可得到最大引用误差r0m。
r0m
m
L
100%
对一台确定的仪表或一个检测系统，最大引用误差就是一个定值
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测量仪表一般采用最大引用误差不能超过的允许 值（最大允许误差）作为划分精度等级的尺度。工业 仪表常见的精度等级有0.1级，0.2级，0.5级，1.0级， 1.5级，2.0级，2.5级， 5.0级。精确度等级为1.0的仪 表，在使用时它的最大引用误差不超过±1.0％，也就 是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其 量程的±1％。
n
i1 n
对于有确定的单元数N和值xi的总体，平均值
x1 x2 xN N xi
N
i1 N
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• 被测量按大小次序排列，中位数是序列中间的 值。如果元素的数量为偶数，中位数是两个中心 值的平均值。 • 众数是对应于事件发生概率峰值的变量的值。 在离散样本空间，众数是出现频率最高的值。在 连续的样本空间，众数为频率最高的数据带的中 点。
的检测量的测量结果可以忽略。
e （1）单次测量的极限误差
1
d
2 2 2
1
2
随机误差在－δ至＋δ范围内概率为：
P( ) 1
e d
2 2 2
2
e d
2 2 2
2
2 0
经变换，(1.3.22）式为
t
P( ) 2
t
e
t2 2
dt
2(t)
2 0
若某随机误差在±t 范围内出现的概率为2Φ(ｔ),
x
n
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式中， x ——算术平均值标准差（均方根误差）；
—— 测量列中单次测量的标准差；
n ——测量次数
当测量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值， 测量精度也越高。
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3. 测量的极限误差
测量的极限误差是率为P，并使出现概率为（１-P），误差超过该极端误差