承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。

要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。

问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出。

所求速度33⨯⨯(=1.692210m/s,=1.613910m/s)v v远近采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。

轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。

通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM)E。

问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。

结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。

对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。

问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角ϕ,给ϕ增加或减小一个角度ϕ,分别求出各个对应的近月点坐标'y。

之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。

关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

对于误差因数分析,通过计算着陆轨道与策略的理论值与实际值之间的变化量,并求其平均值,得出平均值与实际值的比值,其中比值越大说明其误差越大,越不可行。

二、模型假设1.月球可看做一质量均匀、形状标准的球体；2.反向推力大小为常定值；3.飞行器为一质点，不考虑飞行器的姿态对轨道的影响，也不考虑飞行器姿态；4.忽略重力而只考虑空气阻力的作用；忽略地球曲率的影响，在在入轨道是直线轨道；5.不考虑地球等其他天体的影响；三、符号说明G------万有引力常量；M------月球的质量；F ------发动机的推力；ϕ------推力的方向角，即推力和切向速度的夹角；r ------嫦娥三号卫星的极半径；θ------极角；r v ------径向速度； v θ------切向速度；m ------ 任意时刻嫦娥三号卫星的质量；m ------发动机单位时间消耗的燃料质量；m ------嫦娥三号在着陆轨道上的质量。

四、模型的分析、建立与求解4.1问题一的建立与求解 4.1.1近月点，远月点的速度近月点，远月点均在椭圆轨道上，建立以月心为原点，椭圆轨道长半轴为x 轴，短半轴为y 轴的平面直角坐标系。

运用活力公式建立速度模型并求解数值。

活力公式，又叫轨道能量.这个公式是二体问题的一个积分。

是反映了天体的位置、速度和轨道半长径之间的相互关系。

平面运动的面积定律: 二体问题中作用于“嫦娥三号”卫星上的力总是指向地心，结果是轨道是是始终保持在固定平面上。

因为力总是与位置矢量相反，没有垂直于轨道平面上的加速度，所以卫星不可能脱离轨道平面。

卫星加速度••r 可由牛顿万有引力得出：3GMr ••=-r r(1)作为这一事实的数学描述，式（1）两边叉乘位置矢量r ，则3+r GM••⨯=-r r r r （）=0 （2）上面方程右边为0，因为一个矢量本身叉乘为0，方程左边可展开为td=+=d •••••••⨯⨯⨯⨯r r r r r r r r （）（3）v •=r因为•⨯r r 对时间的导数等于0，因此•⨯r r 本身必须为常数，也就是： =st con •⨯=r r h （4）两个矢量叉乘所产生的矢量几何上垂直于这两个矢量。

因此，位置矢量r 和速度矢量•r 总是垂直于h ，换句话说，运行轨道在一个平面。

矢量h 为单位质量的角动量或者说是特殊角动量，它和角动量l 关联，有=l mh ，其中m 是卫星质量。

给（1）式两边叉乘矢量h ，可以发现轨道的其他特性:()GM r ••⨯=-rh r (5)关于开普勒运动的能量积分定律，它涉及卫星和地心距的关系。

为此，将式(5)两边平方，得22222222+2(12cos )(6)=(2(12cos )(1))GM GMrGM e e GM e e •⨯=- =-++ -+--rh r v h v v （）（）（）（） 因为矢量h 和•r 互相垂直，所以上式左边的值22h v ,其中表示卫星速度。

代入半长轴的导数221(1)GM e a h -=,利用圆锥截面方程，得任意开普勒轨道(椭圆曲线轨道),活力公式的表达式为221=()()v G M m r a +- (7)在此，因为卫星的质量相对于月球的质量来说太小，我们计算时忽略卫星的质量，得到简化的活力公式表达式：221()v GM r a =- (8) v ------表示两天体间的相对速度r ------表示两天体间的相对距离a ------表示半长轴(椭圆:0a >;抛物线:a =∞或10a =;双曲线:a <∞)G ------表示万有引力常数M ,m ------表示两天体的质量在matlab环境下，编程求解速度分别为3=1.692210v⨯近，3=1.613910v⨯远，速度方向为轨道切线方向。

4.1.2 近月点，远月点的位置（1）轨道根数:轨道根数[1](或称轨道要素或轨道参数)是对选定的两个质点,在牛顿运动定律和平方反比定律的重力吸引下,确认特定轨道所必须要的参数。

1.轨道半长轴a:既为平均轨道半径,但是不是长轴与短轴的算术平均数。

2.轨道偏心率e:为椭圆扁平程度的一种量度,定义是椭圆两焦点间的距离与长轴长度的比值就是cea=。

3.轨道倾角i:行星轨道面对黄道面的倾角或在升交点处从黄道面逆时针方向量到行星轨道的角度。

4.升交点黄道经度Ω:行星轨道升交点的黄道经度。

5.近月点幅角ω:从升交点沿行星运功轨道逆时针量到近日点的角度。

6.指定历元的平近点角0M:行星对应0t时刻的平近点角在使用以上的轨道根数,可找出天体按开普勒轨道(即二体问题中的轨道)运行位置,但在实际问题中,若天体所受的其他作用力不可忽略,便需加这些摄动(因素)项来修正其位置（2）建立坐标系建立月心赤道坐标系，它与月球自转轴和赤道方向对齐。

原点是月心，z轴是指向北极，赤道平面组成了x—y参考平面。

月球的自转和公转是一样的时间，所以就只能看见一面，所以x轴指向月球始终面对地球的那面中心点。

如图所示：图一赤道坐标系中心点的位置可以通过三维直角坐标(,,)x y z 或者极坐标（,,αδγ）来表示。

两种坐标转换如下：cos cos cos sin sin x y r z δαδαδ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r （9）图二在轨道根数这六个物理量里，a 和 e 确定了轨道形状，M 确定了沿轨道的位置， ωi Ω这三个根数则是确定了轨道在空间的定向，即就是与赤道直角坐标的角度的联系。

（3）建模轨道根数的计算模型：由（4）式可知角动量矢量：(10)y z z y z x x z x y y x •••••••⎛⎫- ⎪ ⎪=⨯=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭h r r和角动量的模||h =h 。

/sin sin sin cos /(11)cos /x x y y z z h h w i i h h w i h h w ⎛⎫⎛⎫++Ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪Ω=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭式中/h =w h 作为i 和Ω的函数，i 和Ω由（9）式得到。

因此，倾角和交升点赤经可得到如下公式：arctan z i =⎝⎭ (12)cos /z i h h=arctan()arctan()y x xyh hh hΩ==--w w （13）由瞬时角动量可导出半通径与椭圆的基本特性半通径式相等：22(1)h p a e GM ==- （14）有（14）式可以推出轨道偏心率e =（15） 由轨道极坐标方程根据椭圆基本特性可以得到椭圆上各点的极径r 与真近点角θ公式：1cos pr e θ=- （16）·0,[0,180]0,[180,360]·r v r v θθ⎧>⎪ ⎨<⎪⎩。