∑
∞ k =1
∞
k =1
( a ijk ) = s ij
j = 1, 2, L , n) 即m×n个数项级数
∑ a 均为收敛的。
(k ) ij
例 研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性， 其中
k =1
∞
⎛ N ⎞ N 11 ⎟ 1 1 ⎜ ∑ 1 − (k + 1)(k + 2)2 − N k ∑2 ⎟ 2 ⎜ k =0 N + 2 k =0 N ⎟ ，k =0,1,2,…, S N = ∑ Ak = ⎜ ⎜ k =0 π⎛ N π ⎞⎟ 1 ⎜ ⎜ 4 − Nk ⎟ ⎟ 0 ⎜ 3 ⎝∑ 4 ⎠ ⎟ k =0 4 ⎝ ⎠ 于是 ⎛1 2 ⎞ ⎟ S = lim SN = ⎜ 4 ⎟ N→∞ ⎜0 π⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝
一种矩阵范数，则矩阵序列 { Ak}k=1 收敛于矩阵A的充要条件
∞
定理1 设 { Ak }k=1 为 C m × n 中的矩阵序列，⋅ 为 Cm×n 中的
∞
是 Ak − A 收敛于零。 证：首先，利用范数的等价性知，对于 C m×n 中的任意 两个矩阵范数 ⋅ 即有
t
和 ⋅ s，存在常数 c1 ≥ c2 > 0 , 使得
∞
{ Sk }k =1
∞
收敛且 lim Sk = S ，则称矩阵级数 ∑ A 收敛， k →∞
∞
k =1 k
而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为 S = ∑ Ak。不收敛的矩阵
k =1
级数称为发散的。 显然，和 ∑
(i = 1, 2, L , m,
∞
k =1
Ak = S = ( s ij )的意义指的是:
k 练习题 判断对下列矩阵是否有 lim A = 0 k →∞
⎛ 0.2 0.1 0.2 ⎞ 1 ⎛ 1 −8 ⎞ （2） A = ⎜ 0.5 0.5 0.4 ⎟ A= ⎜ ， （1） ⎟ ⎜ ⎟ 6 ⎝ −2 1 ⎠ ⎜ 0.1 0.3 0.2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −8 ⎞ 1 （1）取 B = ⎜ 解： ， 则 λ ( A) = λ ( B ) ，令 ⎟ −2 1 ⎠ 6 ⎝
而且存在Cn×n上的算子范数‖· ‖，使得
( I n − A) − ∑ A
−1 k =0 m k
≤Am +1 Nhomakorabea1− A
证 必要性 若矩阵级数 ∑ A k 收敛，则有 S = lim Sk。 k →∞ k =1 又级数
I + A + A2 +L+ Ak +L
∞
的前k项部分和与前k+1项部分和分别为：
Sk = I n + A + A2 + L + Ak −1 ,
Sk +1 = In + A + A2 + L+ Ak
k 因此 A = S k +1 − S k ，利用极限运算法则有 lim A k = lim [S k +1 − S k ] = 0
根据例2，ρ ( A ) < 1。
k →∞
k →∞
充分性 由 AS k = A I + A + L + A k −1 = A + A 2 + L + A k - k k ( 则有 S k − AS k = I − A ， I A ) S k = I A 。 由 ρ ( A ) < 1 , 可知 则存在某种范数‖·‖，使得 A < 1 ，且（I-A）可逆。 又有
(k (k ⎛ det( A11 ) ) det( A21 ) ) ⎜ (k (k det( A12 ) ) det( A22 ) ) ⎜ ⎜ M M ⎜ ⎜ det( A ( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n ⎝ (k L det( An1 ) ) ⎞ (k ) ⎟ L det( An 2 ) ⎟ ⎟ L M ⎟ (k ) ⎟ L det( Ann ) ⎠
−1 −1 k = lim Sk = lim ⎡( I − A ) ( I − Ak ) ⎤ = ( I − A ) lim( I − A ) = ( I − A ) 。 ∑ A k→∞ k →∞ ⎦ k →∞ ⎣ k =0
∞
k →∞
， lim Ak = A 则 k→∞
Ak
−
A
≤
⎛ ( −1) ⎜ 1 ⎝
Ak − A ，即结论成立。
1 k +1
需要指出的是，此结论只是充分条件，反过来不一定成立。
k
给定矩阵序列 Ak =
⎞ ⎟ 2 ⎠
⎛1 和矩阵 A = ⎜ ⎝1
1
0⎞ ⎟ 2⎠
显然有 lim Ak k→∞
F
=
lim
k→∞
( aijk ) − aij ∑
n j =1
aij − aij
(k )
≤ max 1≤i≤ m
m n
=
Ak − A
∞
( ≤ ∑∑ aijk ) − aij i =1 j =1
因此，
lim Ak = A
k →∞
⇔
lim Ak − A
k→∞
∞
=0
证毕
推论 证： 由
设 { Ak }k =1， A ∈C m × n ，并且 lim Ak = A
一、矩阵序列与矩阵级数 二、矩阵幂级数 三、函数矩阵的微积分
1. 矩阵序列
定义1
j =1,2,…,n 均成立， 则称矩阵序列 { Ak }k =1 收敛，而A称为
∞
( n 又 A= aij ∈ Cm×。 如果 lim aijk ) = aij 对 i =1, 2，…，m， k →∞
( )
{ Ak }k =1为 C
∞ ∞
并且 则 证 由
lim Ak = A ， k→∞
lim Bk = B
k →∞
lim Ak Bk = AB
k →∞
Ak Bk − AB = Bk BkAk − kA + AkkB⋅−Bk − B ≤ A ⋅ −AB A AB
由定理1和推论可知，结论成立。
性质3
设 { Ak }k =1∈Cn×n中的矩阵序列，lim Ak = A 并且
故矩阵级数 ∑Ak 收敛，且和为S。
k =1 ∞
解：因为
定理 设A为n阶方阵，则有 （1）
∑
∞
ρ ( A ) < 1;
k =0
A k = I + A + A2 +L+ Ak +L 收敛(A0=I)的充要条件是
∞
（2） 当 ∑ A k 收敛时，有
k =0
∑
∞
k =0
A k = ( I n − A) −1 ,
2 矩阵级数
{ A k }k =1 为Cm×n中的矩阵序列，称 定义2 设 A1 +A2 + L + Ak + L
∞
为由矩阵序列 { Ak }k =1 构成的矩阵级数，记为
∞
∑A 。
k =1 k
∞
定义3 记 若矩阵序列
Sk = ∑ Ai
i=1
k
，称之为矩阵级数 ∑ Ak 的前k项部分和。
k =1
∞
−1 + 12 + 2 2 +
k
⎛1 0 ⎞ 但是矩阵序列Ak不收敛，故更不收敛于矩阵 A = ⎜ ⎟ 1 2⎠ 。 ⎝
( k + 1)
2
= 6= A
F
性质1 设
{ Ak }k =1
∞
和
{Bk }k=1为
∞
Cm×n 中的矩阵序列，并且
lim Ak = A ， lim Bk = B k→∞ k →∞
∞
m×n
( Ak = ( aijk ) ) 中的矩阵序列，其中
矩阵序列
{ Ak }k =1 的极限，记为
∞
lim Ak = A 。 不收敛的矩阵
k→∞
序列称为发散的。
例1 讨论矩阵序列 { Ak }k =1 的收敛性。 其中
∞
解： 根据定义，只须求出它的每一个元素的极限即可， 因此 它的极限为：
lim
k k ρ( A)) = ρ( Ak ) ≤ A < 1 (
因此得
ρ ( A) < 1
1 充分性 根据定理2.8，对于 ε = (1 − ρ ( A ) ) > 0 一定存在 2 一种相容的矩阵范数 ⋅ ，使得 A ≤ ρ ( A) + ε 。
又根据相容矩阵范数的性质有， 再注意到上述关系式中 1 ρ ( A ) + ε = (1 + ρ ( A ) ) < 1 2 那么
% Ak =
(k ) 其中 det (Aij )( n − 1 ) × ( n − 1 )
(
)
i, j = 1, 2, L, n 为Ak的第ij个代数余子式。
于是，
lim ( A k )
k→∞
−1
% % A Ak = = = lim k →∞ det( A ) det( A) k
A−1
注意， 性质3中条件 Ak ( k = 1, 2, L) 和A均为可逆的是不可少的。 因为即使 A k (k = 1, 2,L) 可逆也不能保证A一定可逆。
矩阵分析简介
大连理工大学数学科学学院 张宏伟制作
此前我们只研究了矩阵的代数运算，但在工程实际中， 特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算。 同微积分理论一样，矩阵分析的理论建立，也是以极限 理论为基础的，其内容丰富，是研究数值方法和其它数学分 支的重要工具。 本章讨论矩阵序列的极限运算，然后介绍矩阵序列和 矩阵级数收敛的定理, 矩阵幂级数的极限运算和一些矩阵 函数，如 sinA,cosA, eA等，最后介绍矩阵的微积分。