三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2
3π
,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2
3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =
图
象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值 当
22
x k π
π=+
时，
max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．
当2x k π=时，
max 1y =；当2x k ππ=+
时，min
1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单
调
性 在2,22
2k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
上是增函数； 在32,22
2k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦
上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函
数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
上是增函数．
对称
性 对称中心(),0k π 对称轴2
x k π
π=+
对称中心,02k π
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
对称轴x k π=
对称中心,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
无对称轴
函
数 性
质
例作下列函数的简图
(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]
例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：
21sin )1(≥
x 21
cos )2(≤
x
3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做
()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一
般称为周期）
正弦函数、余弦函数：ωπ=
2T 。

正切函数：π
ω
例求下列三角函数的周期：
1︒ y=sin(x+3
π
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x
例求下列函数的定义域和值域：
（1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =
例5求函数sin(2)3
y x π
=-
的单调区间
例不求值，比较大小(1)sin(－
18π)、sin(－10π)； (2)cos(－523π)、cos(－4
17π)． 解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． (2)cos(－523π)＝cos 5
23π
＝cos 53π
且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数 cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4
π
∴sin(－10π)＜sin(－18π) ∵0＜4π＜53π
＜π
即sin(－18π)－sin(－10
π
)＞0 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数
∴cos 53π＜cos 4π
即cos 53π－cos 4π＜0
∴cos(－523π)－cos(－4
17π
)＜0
4、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的图像： （1）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的有关概念： ①振幅：A ； ②周期：2π
ω
T =； ③频率：12f ω
π
=
=
T ； ④相位：x ωϕ+； ⑤初相：ϕ． (2) 振幅变换
①y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的②它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
③若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折
A 称为振幅，这一变换称为振幅变换
(3) 周期变换
①函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
ω
1
倍（纵坐标不变） ②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
(4) 相位变换
一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变
换
5、小结平移法过程（步骤）
6、函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<．
例 如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜
2
π
的一段图象，则f （x ）的表达式为
例 如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
A A ＝3，Ｔ＝
34π，φ＝－
6π B A ＝1，Ｔ＝
34π
，φ＝－43π
C A ＝1，Ｔ＝
32π
，φ＝－43π
D A ＝1，Ｔ＝
3
4π
，φ＝－6
π
作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一
沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短
沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 图e
例 画出函数y ＝3sin(2x ＋
3π
)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝2
2π
，得T ＝π 列表：
x
–6π 12π 3
π
127π 6
5π 2x +3π 0 2π π
2
3π 2π 3sin(2x +3
π
) 0 3 0
–3
例求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由2
3
3π
ππ
+
≠-
k x 得18
53π
π+
≠
k x ， ∴所求定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 值域为R ，周期3
π
=
T ，是非奇非偶函数
在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数 例 已知函数y =si n 2x +3cos2x -2
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 (2)求这个函数的周期和单调区间 (3)求函数图象的对称轴方程
(4)说明图象是由y =si nx 的图象经过怎样的变换得到的
解：y =sin2x +3cos2x -2=2sin(2x +3
π
)-2 (1)列表
x
6
π-
12π 3π π127 π6
5 3
2π
+
x
2
π π
π2
3 2π 2)3
2sin(2-+=π
x y
-2
-2
-4
-2
其图象如图示 (2)22π
=
T =π 由-2π+2k π≤2x +3π≤2π
+2k π，知函数的单调增区间为
［-5π+k π,π
+k π］,k ∈
由
2π+2k π≤2x +3π≤23
π+2k π，知函数的单调减区间为 ［12π+k π,12
ππ+k π］,k ∈Z (3)由2x +3π=2
π
+k π得x =12π+2k π∴函数图象的对称轴方程为x =12π+2
k
π,(k ∈Z )
(4)把函数y 1=sin x 的图象上所有点向左平移3π个单位，得到函数y 2=si n (x +3π
)的图象；
再把y 2图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y 3=sin (2x +3
π
)的图象；
再把y 3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y 4=2sin (2x +3
π
)的图象；
最后把y 4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y =2sin (2x +3
π
)-2的图象。