部分习题解答
1.叙述函数极限 lim f ( x)的归结原则
x
设f 在U ()内有定义.则 lim f ( x)存在的充要条件是 :
x
对任何含于U ()内的无上界数列{xn }, 只要 lim xn ,
n
那么lim f ( xn )必存在, 且任何这样的数列的极限都相等.
所以f 在[a, )上有上界.
" ": 若f 在[a, )上有上界, 按确界原理,f 在[a, )上有上确界,
1 例1 证明极限 lim sin 不存在. x 0 x 1 1 ,(n 1, 2, ), 则显然有 证 设xn , xn n 2n 2
xn 0, xn 0(n ),
1 1 sin 1 1(n ). sin 0 0, xn xn
且 f ( x1 ) A 0 , 对 2 min{

2
2
, x1 x0 }, 存在一点x2 , 使0 x2 x0 2
且 f ( x2 ) A 0 , x2 x1 , 一般地,对取 n min{ n , xn 1 x0 }, 存在一点xn使0 xn x0 n且
即 0, 0( / ), 使当0 | x x0 | 时 恒有 | f ( x ) A |
再由 lim xn x0 则对上述 0, N ,
n
使当n N时
0 | xn x0 |
故 | f ( xn ) A |
使得f ( x) A 取 x x0 0, 则由f 的递增性,
0 对一切x ( x0 , x) U ( x0 ; ), 有f ( x) f ( x) A .
另一方面, 由A f ( x), 更有A f ( x).
0 从而对一切x ( x0 , x) U ( x0 ; ), 有
述如下 :
0 定理3.9设函数f 在点x0的某空心右邻域U ( x0 )有定义. x x0
lim f ( x) A的充要条件是 : 对任何以x0为极限的递减数列
n
0 {xn } U ( x0 ), 有 lim f ( xn ) A.
证 必要性 设 lim f ( x) A, 则对 0, 0,当0 x x0 时
如在例1中我们可取 0 1, 对任何 0, 设正整数n
x 1 1 , x , n n 2
1

,令
1 1 则有x, x U (0; ), 而 sin sin 1 0 . x x
0
1 于是,按照函数极限的柯西准则,极限 lim sin 不存在. x 0 x
证 必要性 设 lim f ( x) A,
x x0
则 0, 正数 ( ),当x U ( x0 ; ) 有 f ( x) A . 2 于是对任何x, x U 0 ( x0 ; )有
0

f ( x) f ( x) f ( x) A f ( x) A
n n
有 lim D (rn ) 1, lim D( sn ) 0,
n n
根据海涅定理,函数D(x)在x0不存在极限因为x0是 . R上任意一点,所以D(x)在R上每一点都不存在极限
对于x x0 , x x0 , x 和x 这四种类型的单侧极限, 相应的归结原则可表示为更强的形式.现以x x0 这种类型为例阐
n
记为B. 现证B A. 为此, 考虑数列{zn }: x1 , y , x2 , y2 , xn , yn ,
{zn } U 0 ( x0 ; ) 且 lim zn x0 ,仍如上所证,{ f ( zn )}也收敛. 易见
n
于是,作为 f ( zn )}的两个子列, { f ( xn )}与{ f ( yn )}必有相同的极限. {
x x0
0 0 证 不妨设f 在U ( x0 )上递增.因f 在U ( x0 )上有界,由确界原理
xU ( x0 )
inf 0
f ( x)存在, 记为A. 下证 lim f ( x) A.
x x0
0 事实上, 0, 按下确界定义, 存在x U ( x0 ),
A f ( x) A
x x0
就证得 lim f ( x) A.
最后,我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则.
定理3.11(柯西准则)设f 在U 0 ( x0 ; )内有定义. lim f ( x)存在的
x x0
充要条件是 : 0, 正数 ( ), 使得对任何x, x U 0 ( x0 ; ) 有 f ( x) f ( x) .
x x0
对任何含于U 0 ( x0 ; )且以x0为极限的数列{xn }, 极限 lim f ( xn )都存在且相等.
n
即 lim f ( x) A xn , xn x0 ,(n ), lim f ( xn ) A
x x0 n
证明
x x0
lim f ( x) A
但 f ( x) A 0
/ 现取 n
有 x n 满足 0 | xn x0 |
/
n
n 1, 2,
即xn x0 , xn x0
n
但 | f ( xn ) A | 0
此与 lim f ( xn ) A 矛盾
lim f ( x) A
x x0
lim f ( xn ) A
n
设对xn x0 ( xn x0 )
n
都有
lim f ( xn ) A 要证 lim f ( x) A
用反证法 若 lim f ( x) A
x x0
x x0
即 0使对 0，都有x满足 0 | x x0 |
n
lim f ( xn )都存在但不相等, 则 lim f ( x)不存在.
n x x0
海涅定理的意义
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但两者是有 联系的.海涅定理是沟通数列极限与函数极限的桥梁.它指 出,函数极限可化数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理 处于重要地位,因为海涅定理给出了函数极限存在的充要条 件,所以有的数学分析教材就用数列极限定义函数极限.有了 海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助数列极限的定 理予以证明.应用海涅定理证明函数极限不存在也很简便.
xn , xm U 0 ( x0 ; ), 从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是按数列的柯西收敛准则,数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A,
即 lim f ( xn ) A.
n
设另一数列{ yn } U 0 ( x0 ; )且 lim yn x0 , 则如上所证, lim f ( yn )存在, n

2 2 充分性 设数列{xn } U 0 ( x0 ; )且 lim xn x0 .
n


.
按假设, 0, 正数 ( ), 使得对任何x, x U 0 ( x0 ; )有
f ( x) f ( x) .
由于xn x0 (n ), 对上述的 0, N 0, 使得当n, m N时有
0 因此, lim xn x0 , 可见xn是以x0为极限的递减数列, 且含于U ( x0 ) n
这样的数列{xn }满足
2
但由(2)知, lim f ( xn ) A, 矛盾.
n
0 定理3.10 设f 为定义在U ( x0 )上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x)存在.
2 f ( xn ) A 0 , xn xn 1 x2 x1
0 (1)xn U ( x0 ), 且xn1 xn , n 1, 2, (2) f ( xn ) A 0 , n 1,2, 0 由于xn U ( x0 ), 故有 0 xn x0 n n 0(n ),
注1
归结原则也可简述为:
x x0
lim f ( x) A 对任何xn x0 (n )有 lim f ( xn ) A.
n
注2 若可找到一个以x0为极限的数列{xn }, 使 lim f ( xn )不存在,
n
或找到两个都以x0为极限的数列{xn }与{xn }, 使 lim f ( xn )与
n
2.设f 为定义在[a, )上的增(减)函数.证明 : lim f ( x)存在
x
的充要条件是f 在[a, )有上(下)界.
证 (只证增函数有上界的情况,另一种情况类似可证)
" ": 若 lim f ( x ) A 对 1, M 0( M a), 当x M 时,
充分性 (反证)假设 lim f ( x) A, 则存在某一个正数 0 , 不论正数
x x0
多么小, 总存在一点x, 尽管0 x x0 , 但有 f ( x) A 0 0 设U ( x0 ) ( x0 , x0 ), 则对1 , 存在一点x1 , 使0 x1 x0 1 2
第三章 函数极限
三 函数极限存在条件
§3 函Байду номын сангаас极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的 变化趋势来判断其极限的存在性.下面的定理只对x x0 这种类型的函数极限进行讨论,但其结论对其它类型的函 数极限也是成立的.
定理3.8(归结原则,海涅定理)
设f 在U 0 ( x0 ; )内有定义. lim f ( x)存在的充要条件是: