0 0
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
0
δ
2n
→ 0 ( n → ∞ ). 因此, lim x n = x0 . 可见 x n 是以 x0 为极限的递减
n →∞
0
x → x0
条件是对任何以 x0 为极限且含于 U + ( x 0 ) 的递减数列 {x n } 有 lim f ( x n ) = A .
0
n →∞
f ( x) = A ,则对任给正数 ε ,存在正数 δ ,当 0 < x − x0 < δ 时, 证: 必要性 设 lim +
x → x0
有 f ( x) − A < ε . 设 {x n } 含 于 U + ( x 0 ) 且 递 减 趋 于 x 0 , 则 对 上 述 正 数 δ , 存 在 N , 当 n > N 时 , 便 有
x → x0
7． 证明:若 f 为周期函数且 lim f ( x) = 0 ,则 f ( x) ≡ 0 .
x → +∞
证: 假设 f ( x) 不恒等于 0,则存在 x0 ∈ (−∞,+∞) ,使 f ( x0 ) ≠ 0 , 又因 f 为周期函数,不 妨设周期为 L > 0 ,记 a n = x0 + nL ,则 a n → +∞ ( n → ∞ ), 由作法知
x → −∞
1 ,对任给自然数 n ,取 x → −∞ 2 π 1 x1 = −nπ , x 2 = −nπ − , 于是 x1 < − n , x 2 < − n ,而 sin x1 − sin x 2 = 1 > . 2 2
以 下 用 此 定 义 证 明 lim sin x 不 存 在 . 取
ε0 =
由此可见 f 在 U ( x0 ) 上有上确界 , 记 A = sup
0 0 x1 ∈ U − ( x0 ) ,使 f ( x1 ) > A − ε .
f ( x) . 于是对任给正数 ε , 都存在
0 x∈U − ( x0 )
记 δ = x0 − x1 > 0 , 则当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时 , 就有 x > x1 , 从而由 f 在 U − ( x0 ) 上递增知
存在 U (+∞) = (b,+∞) ,使 f ( x) 在 U (+∞) 上有界,即存在 M 与 m ,对任给 x ∈ U (+∞) ,都有
m ≤ f ( x) ≤ M (1) .
又由 f ( x) 在 [a,+∞) 上递增知:对任给 x ∈ [a, b] ,有 f ( x) ≤ f (b + 1) ≤ M (2). 由(1)(2)可得,对任一 x ∈ [a,+∞) ,有 f ( x) ≤ M . 故 f ( x) 在 [a,+∞) 上有上界. 充分性 设 f ( x) 在 [a,+∞) 上有上界,则由确界原理知 f ( x) 在 [a,+∞) 上有上确界.
故 lim sin x 不存在.
x → −∞
4 ．设 f 在 U ( x0 ) 内有定义,证明: 若对任何数列 {x n } ⊂ U ( x0 ) ,且 lim x n = x0 ,极限
0 0 n →∞
lim f ( x n ) 都存在,则所有这些极限都相等.
n →∞
证:
对任意两个满足题设条件的数列 {x n } , { y n } , 设 lim f ( x n ) = A , lim f ( y n ) = B ,
0 x∈U − ( x0 )
x∈U + ( x0 )
f ( x)
0
证 : 仅 证 f ( x 0 − 0) 的 存 在 性 及 有 关 等 式 . 因 f 为 U ( x0 ) 上 的 递 增 函 数 , 则 对
0 0 x* ∈U + ( x0 ) ,及任给 x ∈ U − ( x 0 ) ,有 f ( x ) ≤ f ( x * ) .
0
δ1 =
δ
2
, 存 在 一 点 x1 , 使 0 < x1 − x0 < δ 且
f ( x1 ) − A ≥ ε 0 .
对
δ 2 = min{
δ
22
, x1 − x0 } , 存 在 x 2 使 0 < x 2 − x0 < δ 2 且
f ( x 2 ) − A ≥ ε 0 , x 2 < x1 .
lim f (a n ) = f ( x0 ) ≠ 0
n→∞ x → +∞
(1) (2)
又因 lim f ( x) = 0 ,由归结原则有 lim f (a n ) = 0
n→∞
(1) 与(2)矛盾,故 f ( x) ≡ 0 . 8．证明定理 3.9. 定理 3.9 设函数 f 在点 x0 的某个右邻域 U + ( x 0 ) 有定义,则极限 lim f ( x) = A 的充要 +
§3
函数极限存在的条件
1． 叙述函数极限 lim f ( x) 的归结原则,并用它证明 lim cos x 不存在.
x → +∞ x → +∞
解 : 设 f ( x) 定 义 在 [a,+∞) 上 , 则 lim f ( x) 存 在 的 充 要 条 件 是 : 对 任 何 数 列
x → +∞
{x n } ⊂ [a,+∞) , 且 lim x n = +∞ ,极限 lim f ( x) 都存在且相等.
n →∞
而 A = B . 由 {x n } , { y n } 的任意性知结论成立. 5 ． 设 f 为 U ( x0 ) 上 的 递 增 函 数 , 证 明 f ( x 0 − 0) 和 f ( x0 + 0) 都 存 在 , 且
0
f ( x0 − 0) = sup f ( x) , f ( x0 + 0) = inf 0
0
0 < x n − x0 < δ ,于是,当 n > N 时, 便有 f ( x n ) − A < ε ,故 lim f ( x n ) = A .
n →∞
充分性
f ( x) ≠ A ,则存在某一个正数 ε 0 ,不论正数 δ 多小.总存在一 (反证) 假设 lim +
x → x0
点 x ，尽管 0 < x − x 0 < δ ,但有 f ( x ) − A ≥ ε 0 . 设 U + ( x0 ) = ( x0 , x0 + δ ) , 则 对
x → +∞
f ( x) − A < ε , 故
lim f ( x) = A .
3．(1)叙述 lim f ( x) 存在的柯西准则;
x → −∞
(2)正面陈述极限 lim f ( x) 不存在的概念;并用它证明 lim sin x 不存在.
x → −∞ x → −∞
解: (1)设 f ( x) 在 U (−∞) 内有定义,则 lim f ( x) 存在的充分必要条件是:对任给的正数
x → +∞ x → +∞
证: 设 x n = 2nπ , x n = 2nπ +
′
″
π
2
( n = 1,2,3, L ), 则显然有
π ′ ″ x n = 2nπ → +∞ , x n = 2nπ + → +∞ ( n → +∞ ), 2 ′ ″ cos x n = 1 → 1 , cos x n = 0 → 0 ( n → +∞ )
数列,且含于 U + ( x 0 ) ,但 lim f ( x n ) ≠ A , 矛盾.
4
பைடு நூலகம்
3
一般地,对取
δ n = min{
δ
2n
, x n −1 − x0 } , 存 在 x n , 使 得 0 < x n − x0 < δ 2 ， 且