A
M
x
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
第三节
函数极限存在的条件
一,极限存在准则
1.夹逼准则 夹逼准则
则 件: 准 Ⅰ 如 数 xn , yn 及zn 满 下 条 : 果 列 足 列 件
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3 )
(2) lim yn = a, limzn = a,
末 列 那 数 xn 的 限 在 且lim xn = a. 极 存 ,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 ∵ x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
1 + 13 1 13 (舍去 舍去) , A= 舍去 解得 A = 2 2 1 + 13 . ∴ lim x n = n→∞ 2
x →0
sin x 5, lim = __________ . x →∞ 2 x
6, lim(1 + x ) = _________ .
x→0
1 x
1 + x 2x 7, lim ( ) = _________ . x→∞ x 1 x 8, lim (1 ) = _________ . x →∞ x 求下列各极限: 二,求下列各极限 1 cos 2 x 1, lim x→0 x sin x 2, lim (tan x ) tan 2 x
3 + x 2x 例5 求 lim ( ) . x→∞ 2 + x
解
1 x+2 2 1 4 ) ] (1 + ) = e2 . 原式 = lim[(1 + x→∞ x+2 x+2
三,小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sinα 0 1 lim = 1; 某过程 α
注意: 利用夹逼准则求极限关 注意: 键是构造出yn与zn ,
并且 yn与zn的极限是容易求的.
例1 求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
++
1 n +n
2
).
n 1 1 n , < ++ < 解 ∵ 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + ++ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
n→∞
n→∞
证 ∵ yn → a ,
zn → a ,
ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n a < ε,
当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,
上两式同时成立, 上两式同时成立
x→
π
x+a x 3, lim ( ) x→∞ x a
n2 + 1 n 4, lim( ) n→ ∞ n+1
4
5,lim(1 + 2 n + 3 )
n→ ∞
1 n n
三,利用极限存在准则证明数列 的极限存在, 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,...... 的极限存在,并求 出该极限 .
1 3x x
= 9e = 9
练 习 题
一,填空题: 填空题 sin ωx 1, lim = _________ . x→0 x sin 2 x 2, lim = __________ . x → 0 sin 3 x
arccot x 3, lim = __________ . x →0 x
4, lim x cot 3 x = __________ .
∴ sin x < x < tan x ,
sin x 即 cos x < < 1, x
π 上式对于 < x < 0也成立 . 2
当 0 < x < 时, 2
π
x x 2 x2 0 < cos x 1 = 1 cos x = 2 sin 2 < 2( ) = , 2 2 2
x2 ∵ lim = 0, x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
1 x 例4 求 lim (1 ) . x→∞ x
解
1 1 x 1 ) ] = lim 原式 = lim[(1 + x→∞ x →∞ 1 x x (1 + ) x 1 = . e
a ε < z n < a + ε,
当 n > N时, 恒有 a ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即 xn a < ε 成立 ,
∴ lim x n = a .
n→ ∞
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
则 ′ 果 准 Ⅰ 如 当x ∈Uδ ( x0 )(或x > M )时 有 ,
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 cos x ) = 0,
x→0
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
1 cos x 例3 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 = lim( = 1 x→0 x 2 2 2 1 = . 2
2
(2) 定义
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x 1n lim(1 + ) = e n→∞ n
1 设 x n = (1 + ) n n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n + 1) 1 = 1+ + 2 ++ n 1! n 2! n n! n
1 1 1 1 2 n1 ). = 1 + 1 + (1 ) + + (1 )(1 )(1 2! n n! n n n
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
思考题
x 求极限 lim 3 + 9 x → +∞
(
1 x x
)
思考题解答
lim (3 + 9
x 1 x x
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 lim 1 + x x → +∞ 3
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + + < 1 + 1 + + + n 1 2! n! 2 2 1 = 3 n 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828 n→∞ n→∞ n
练习题答案
一,1,ω ; 5, 5,0; 二,1,2; 5, 5,3. 三, lim x n = 2 .
x→∞
2 2, ; 2, 3
3,1; 3, 7, 7,e 2 ; 3,e 2 a ; 3,
6, 6,e ;
1 2, ; 2, e
1 ; 3 1 8, 8, ; e
4, 4,
4,e 1 ; 4,
�
当 x ≥ 1 时,
有 [ x ] ≤ x ≤ [ x ] + 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ]+ 1 (1 + ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) , [ x] + 1 x [ x] 1 [ x ]+ 1 1 [ x] 1 ) ) lim (1 + ) = e, 而 lim (1 + = lim (1 + x → +∞ x → +∞ x → +∞ [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 + ) x → +∞ [ x] + 1 1 [ x ]+ 1 1 1 ) ) = e, = lim (1 + lim (1 + x → +∞ x → +∞ [ x] + 1 [ x] + 1 1 x ∴ lim (1 + ) = e. x→+∞ x