2012年高考真题理科数学解析汇编:三角函数一、选择题1 .(2012年高考(天津理))在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =( )A .725B .725-C .725±D .24252 .(2012年高考(天津理))设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3 .(2012年高考(新课标理))已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 ( )A .15[,]24B .13[,]24C .1(0,]2D .(0,2]4 .(2012年高考(浙江理))把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是5 .(2012年高考(重庆理))设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为( )A .3-B .1-C .1D .36 .(2012年高考(上海理))在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是( )A .锐角三角形.B .直角三角形.C .钝角三角形.D .不能确定.7 .(2012年高考(陕西理))在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A .2B .2C .12D .12-8 .(2012年高考(山东理))若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,sin 2θ,则sin θ= ( )A .35B .45 C D .349 .(2012年高考(辽宁理))已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= ( )A .-1B .2-C .2D .110.(2012年高考(江西理))若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= ( )A .15B .14C .13D .1211.(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 ( )A .[ -2 ,2]B .C .[-1,1 ]D .[-2 , 2]12.(2012年高考(大纲理))已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos 2α= ( )A .B .CD 二、填空题13.(2012年高考(重庆理))设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______14.(2012年高考(上海春))函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为_______.15.( 2012年高考(江苏))设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 16.(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.(1)若6πϕ=,点P 的坐标为则ω=______ ; (2)若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为_______.17.(2012年高考(湖北理))设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.18.(2012年高考(福建理))已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.19.(2012年高考(大纲理))当函数sin cos (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________.20.(2012年高考(北京理))在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________.21.(2012年高考(安徽理))设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>三、解答题22.(2012年高考(天津理))已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.23.(2012年高考(浙江理))在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a 求∆ABC 的面积.24.(2012年高考(重庆理))(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.25.(2012年高考(四川理))函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.26.(2012年高考(上海理))海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线212x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?27.(2012年高考(陕西理))函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.28.(2012年高考(山东理))已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.29.(2012年高考(辽宁理))在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.30.(2012年高考(江西理))在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知,,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+=. (1)求证:2B C π-=(2)若求△ABC 的面积.31.(2012年高考(江苏))在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;(2)若cos C =求A 的值.32.(2012年高考(湖北理))已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.33.(2012年高考(广东理))(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.34.(2012年高考(福建理))某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.35.(2012年高考(大纲理))(注意..:.在试卷上作答无效........) ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C .36.(2012年高考(北京理))已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.37.(2012年高考(安徽理))设函数2())sin 24f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时,1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.2012年高考真题理科数学解析汇编:三角函数参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8s i B B B ,易知si B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.2. 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数,反之不成立,∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.3. 【解析】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤4. 【答案】A【解析】把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y 1=cos x +1,向左平移1个单位长度得:y 2=cos(x +1)+1,再向下平移1个单位长度得:y 3=cos(x +1).令x =0,得:y 3>0;x =12π-,得:y 3=0;观察即得答案.5. 【答案】A【解析】t ant a n t1tαβαβαβαβαβ++==⇒+===-+- 【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.6. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选C.7. 解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C.8. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D. 9. 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ,,故选A 【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.10. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.11. 【答案】B【解析】f(x)=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=+=-,[]sin()1,16xπ-∈- ,()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成s i n ()A x ωϕ+的形式,利用[]s i n ()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域. 12. 答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】sin cos 3αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-α 是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin αα-===22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα∴=-=+-=法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .二、填空题 13. 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==,由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===,由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 14. π15.【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=252252- 16. 【答案】(1)3;(2)4π 【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+,当6πϕ=,点P 的坐标为)时cos,362πωω=∴=; (2)由图知222T AC ππωω===,122ABC S AC πω=⋅= ,设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰,由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P 在图像上求ω,(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 17.考点分析:考察余弦定理的运用.解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=18.【答案】4-【解析】设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos 4α==- 【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.19.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.20. 【答案】4【解析】在ABC ∆中,得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b -+=,与题目条件7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===,答案为4.【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.21. 【解析】正确的是①②③①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<三、解答题22. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.23. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ) ∵cos A =23>0,∴sin A,C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos Acos C +23sin C .整理得:tan C. (Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C又由正弦定理知:sin sin a cA C=,故c =对角A 运用余弦定理:cos A =222223b c a bc +-=. (2)解(1) (2)得:b =or b(舍去). ∴∆ABC 的面积为:S. 【答案】(Ⅰ). 24. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 25. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=,得,即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为,由538)(0=x f (Ⅰ)有 ,538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈),得,( 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.26. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t,代入抛物线方程212x y = 中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 7,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船27.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=28.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x ,于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 29. 【答案及解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB 解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c acB ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.30. 【解析】解:(1)证明:由 sin()sin()44b Cc B a ππ+-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44B C C B A ππ+-+=,即sin ()sin ()22222B C C C B B +-+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4B C π<< 所以2B C π-=(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,又,4A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a Cbc A A ππ====,所以三角形ABC 的面积151sin sin cos sin 28888242bc A πππππ===== 【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.31. 【答案】解:(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B,即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B <π+,∴cos 0 cos 0A >B >,.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =.(2)∵ cos 0C <C <π=,∴sin C =∴tan 2C =. ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- .由 (1) ,得24tan 213tan AA=--,解得1tan =1 tan =3A A -,. ∵cos 0A >,∴tan =1A .∴=4A π.【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.【解析】(1)先将3AB AC BA BC =表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.(2)由cos C =可求tan C ,由三角形三角关系,得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A 的值.32.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±,所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤,所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 33.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4c o s 5α==,15sin 17β,所以()4831513c o s c o sc o s s i n s i n51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 34. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sincos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+= 35. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由()A B C B A C ππ++=⇔=-+,由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C =可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒= 而C 为三角形的内角且2a c c =>,故02C π<<,所以1sin 2C =,故6C π=. 【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到,A C 角关系,然后结合2a c =,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角C 的值.36. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos 2x x --)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈. 37. 【解析】2111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-(I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。