山东省旅游市场的分析与预测模型问题分析要从山东省的现有的众多旅游地中，选择出对自己最具吸引力的3个旅游地，我们在处理这样的决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同点就是它们都涉及到经济、社会、人文等方面的因素，在作比较、判断、评价和决策时，这些因素的重要性、影响力、或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。

下面我们运用一种定性和定量相结合的系统化、层次化的分析方法——层次分析法，建立层次分析模型。

要从众多的旅游景点),,2,1(n i P i =中，选择出最具吸引力的城市，我们可以根据诸如景色，费用，居住，饮食，交通等准则去对反复比较这些景点。

首先，要确定这些准则在你心目中的地位即各占多大比重，比如更看重景色或者旅途。

其次，就每一准则将这N 个景点进行对比，譬如1P 景色最好,2P 次之；在比较、判断、评价、决策时，我们将各准则的重要性、影响力或优先程度量化，将准则层次的比较判断进行综合，在),,2,1(n i P i =中确定哪三个作为最具吸引力的城市。

由于我们将比较量化，可以根据量化后的数值进行排序。

（一）建立层次分析模型将该决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层是方案层，有青岛，济南，烟台，威海，日照，泰安，临沂，潍坊等n 个可供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途等m 个准则，各层间的联系用相连的直线表示。

根据上述分析及及山东省的旅游情况，建立本问题的层次分析模型如下图1所示注：图中有准则层与方案层之间的联系有部分线条未画出。

图1(二）构造成对比较阵和权向量从第二层开始，对从属于上一层每个因素的同一层诸因素用成对比较法和1-9尺度构造成对比较阵。

元素之间两两对比，对比采用相对尺度。

设要比较各准则1B ,2B … ,n B 对目标 A 的重要性 j i ij w w a /= 从而得到以下矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w /////////212221212111这些比较显然是一致的。

一般地，如果一个正互反阵Ａ满足ik jk ij a a a =* i,j,k=1,2,…,n 则称A 为一致性矩阵，简称一致阵。

目标层A 目标层A准则层B方案层CC 2 C 1 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8ijjiij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=⨯容易证明n 阶一致阵有以下性质：1. A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；2. A 的任一列向量都是对应于特征根的特征向量。

如果得到的成对比较阵是一致阵，那么应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量表示诸因素对上一层因素的权重，这个向量称为权向量。

如果成对比较阵不是一致矩阵，但在一致矩阵的允许范围内，Saaty 等人建议用对应于A 最大特征根的特征向量最为权向量w ，即w 满足Aw=λw表 1 1—9尺度ij a 的含义（三）一致性检验根据上述论述和λ连续依赖于ij a 的事实可知，λ比n 大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。

因而可以用λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。

将1--=n nCI λ定义为一致性指标。

CI=0时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重。

上面定义的CI 值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。

定义称RI 为平均随机一致性指标。

对n =1,…,11,对应RI 的值，如下表所示。

表2 随机一致性指标RI 的数值将CI 与RI 作比较，定义RICICR =称CR 随机一致性比率。

经大量实例比较，Saaty 认为，在CR<0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。

对于成对比较矩阵A ，将它的一致性指标与同阶的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当CR=RICI<0.1时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。

（四）计算组合权向量在旅游决策问题中，我们得到了第2层对第1层的权向量，记作w)2(=(w )2(1,…,w )2(n )T用同样的方法构造第3层对第2层的每一个准则的成对比较阵，设它们为()5,,1 =k B k 。

对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2，3层分别由n ，m 个因素，及第2，3层对第1，2层的权向量分别为：w)2(=( w )2(1,…, w )2(n )T ，w )3(k =(w )3(1k ,…,w )3(km )T,k=1,2, …,n以w )3(k 为列向量构成矩阵 W )3(=[w )3(1,…,w )3(n ],则第3层对第1层的组合权向量为 w)3(= W)3(w )2(。

更一般地，若共有s 层，则第k 层对第1层的组合权向量满足w )(k = W )(k w )1(-k ，k=3，4，…，s其中W )(k 是以第k 层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。

于是最下层对最上层的组合权向量为：w )(s = W )(s W )1(-s …W )3( w )2(（五）组合一致性检验组合一致性检验可逐层进行。

若第p 层的一致性指标为()层因素的数目是第1-p ,,)()(1n CI CI p np ,随机一致性指标为)((p)1,,p n RI RI ，定义 [])1()()(1)(,,-=p p n p p w CI CI CI [])1()()(1)(,,-=p p n p p w RI CI R RI则第p 层的组合一致性比率为s p RICI CRp p P ,,4,3,)()()( == 第p 层通过一致性检验的条件为 ：1.0)(<p CR 定义最下层对第一层的组合一致性比率为∑==sp p nCR CR 2)(仅当n CR 适当小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。

（六） 模型求解我们取模型中的n=8，在青岛，济南，泰山,烟台，威海，日照，临沂，潍坊这八个旅游城市中进行选择，分别用)8,,2,1( =i C i 表示，准则层我们选取景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，分别用)5,4,3,2,1(=i B i 表示，用成对比较阵法得到第二层对第一层的成对比较矩阵为A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1135/13/11125/13/13/12/118/14/1558123342/11将该矩阵代入 matlab 程序中，可以算出归一化的特征向量w=(0.2614,0.4824，0.0517，0.0971， 0.1073),CI=0.0152 ,得到CR=0.0135, 因为此时的CR<0.10所以通过一致性检验。

同样，构造第三层对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，它们分别为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1113/14/16/15/13/1112/13/13/16/14/13/11212/12/15/14/12/1332113/13/11432114/12/12/166534123544322/112332123/12/111B （景色） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1213/12/13/15/152/112/12/12/13/15/151212/12/13/14/14322112/13/13222112/13/133332212/12554332125/15/14/13/13/12/12/112B （费用） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=142/34/312/36/534/112/14/13/14/13/113/2212/13/212/123/4421123/44132/3112/3133/2412/13/214/325/6324/313/4133/112/14/13/12/13/113B （居住） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13/14/12/113/12/11311234/55/444112/3414/3322/13/21212/1213/14/12/114/15/1135/411415/4324/53/4254/51414/13/12/113/14/114B （饮食）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13/15/13/23/14/13/11312/15/212/14/325216/5213/442/32/55/6125/62/35312/12/112/13/224216/5211433/44/33/22/311312/14/15/12/14/13/115B （旅途）这里矩阵B k (k=1,2,3,4,5)的元素b )(k ij 是方案旅游地C i 与C j 对于准则B k 的优越性的比较尺度 。

由第3层的成对比较阵B k 计算出权向量w)3(，最大特征根k λ和一致性指标CI k ，结果列入下表表3 旅游决策问题第3 层的计算结果应用matlab求出方案)8,在目标中的组合权重应为他们相应的矩阵iC=,2,1(i=乘积，即w)3(k0.1227 0.0464 0.0519 0.0527 0.04560.2116 0.2893 0.1634 0.2063 0.14190.319 0.1815 0.117 0.1597 0.17750.1042 0.1172 0.1619 0.0498 0.09990.1056 0.1267 0.2008 0.1119 0.1950.0562 0.0838 0.1004 0.1771 0.18960.0398 0.0701 0.0466 0.1833 0.0990.0409 0.085 0.158 0.0591 0.0515W=0.26140.48240.05170.09710.1073综上得到组合权向量为()T)3(=.0,2386.0,0672.01077.0,21150751.0,w0711.0,.0,1309.0,0978结果表明各方案在旅游地选择中占的比重排序为：C2—C3—C5—C4—C6—C7—C8—C1即为：青岛—烟台—济南—威海—泰安—临沂—潍坊—日照利用该模型我们最终选择出最具吸引力的3个旅游城市排序为：1.青岛2.烟台3.济南参考文献[1] 张启敏，汪文帅，“宁夏旅游需求量的预测”，《信阳师范学院学报（自然科学版）[2] 朱晓华，杨秀春，蔡运龙，“基于灰色系统理论的旅游客源预测模型”，《.经济地理》[3] 罗明义，《现代旅游经济学》，云南：云南大学出版社，2004 年[4] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2005[5] 姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003。