一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。

笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。

该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。

笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。

变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。

分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长.解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF.所以△AHG ∽△ABC.所以 则解得：所以矩形EFGH 的周长为56cm.变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。

求正方形HEFG 的面积。

分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。

.AD ANBC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=.2=χ解：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以因为 又因为HEFG 为正方形，所以EH ∥BC. 所以AEH ∆∽ABC ∆. 所以所以正方形HEFG 的面积为变式3：如图(4), △ABC 中，高AD=4cm ，PQMN 为正方形，边QM 在BC 上，P 、N 分别在AB 、AC 上，且BC=AD+MN.求这个正方形的面积。

分析：要求正方形的面积，需求出正方形的边PN 的长，由△APN ∽△ABC 及高AD=4cm,可联想用相似三角形对应高的比等于相似比去列比例式，即可以求出正方形的面积。

解：因为 PQMN 为正方形,所以PN ∥BC. 所以△APN ∽△ABC. 所以.521cm BC DC ==.355102222cm DC AC AD =-=-=.ADANBC EH =则设,cm EH ND χ==353510χχ-=.303202cm ）（-=χ.3120021002cm ）（-则设,cm MN PN χ==444χχχ-+=cm）（252-=χ.ADAE BCPN =所以这个正方形的面积为变式4：如图(5)，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,AD=80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm,宽MN=χmm.(1)求证：y=120-χ23;(2)当χ与y 分别取什么值时，矩形PQ M N 的面积最大？最大面积是多少？分析：因为四边形PQMN 是矩形，所以PN ∥BC.由△ABC ∽△APN 得PN ：BC=AE ：AD ，即可证y=120-23χ；又因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,而a=- 23＜0,所以时，ab2-=χS 矩形PQMN 有最大值.证明：(1)因为PN ∥BC ，AE ⊥PN ，PN=QM=ymm,DE=MN=χmm ，所△ABC ∽△APN ，所以PN ：BC=AE ：AD ， 即y:120=(80χ-):80, 所以y=120-23χ. (3）因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,所以当χ=-)23(2120-⋅=40时， S max =)23(41202-⋅-=2400，这时y=402400=60. 变式5：已知一块直角三角形木板的一条直角边AB 的长为1.5m,面积为1.5m 2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请你设计两种合理的加工方法，并用所学过的知识说明哪一种方法符合要求。

（加工损耗忽略不计，计算结果可用分数表示）。

分析：有两种加工方法，要比较哪个加工方法符合要求，就是要比较两种种方法加工出来的正方形桌面的面积哪个大，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”列方.58242cm ）（-=χ程求出正方形的边长就可以求解.解：如图(6),(7),由AB=1.5m ，S △ABC=1.5m 2，得BC=2m, (1)设图(6)中加工桌面的边长为x ，因 为DE ∥BA ，所以ABDECB CD =，即5.122χχ=-， 解得χ=76.(2)在图(7)中，过B 作BH ⊥AC 于H ，交DE 于P ， 由AB=1.5m,BC=2m, S △ABC=1.5m 2,得 AC=2.5m,BH=1.2m,设图(7)中加工桌面的边长为y.因为DE ∥AC ，所以,ACDEBC BE ,BC BE BH BP ==所以,AC DE BH BP =所以5.2y2.1y 2.1=-，解得y=3730.因为 76> 3730， 即x ＞y,所以图(6)的加工方法符合要求。

变式6：如图(8)， 正方形DPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、 △BOP 和△CRQ 的面积分别是1S =1，2S =3 和S 3=1，那么正方形DPQR 的边长是多少？分析一：如图(9),作AD ⊥BC ，则设法根据三角形的面积，用正方形的边长表示AE 、AD 、BC.设正方形的边长为χ，即列式为解得χ=2.解法一: 作AD ⊥BC 于D,AD 交OR 于E. 设正方形的边长为χ,BC ORAD AE=.2622χχχχχχχ++=+因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC.因为 即 所以所以正方形DPQR 的边长是2.分析二:欲求正方形的边长,需求正方形的面积,因为已知三个三角形的面积,可设法构造相似三角形,利用面积比来求.解法二:如图(10),作OE ∥AC 交BC 于E.则△OPE ～△RQC,所以因为OE ∥AC,所以△AOR ～△OBE..262211χχχχ===⋅==∆CQ BP AE AE S AOR ，，同理，因为,BCOR AD AE =.2622χχχχχχχ++=+822222+=+χχχ164=χ.2=χ，可求，需求）（而OBAOAB AO AB AO S S ABC AOR ,2=∆∆.1==∆∆RQ C O PE S S .413=+=∆O BE S .211==∆BOES S BOAO所以.31=ABAO 所以S △ABC =(AOBA )2.S △AOR = 9 因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC. 所以所以正形DPQR 的边长是2.变式7:如图（11），已知菱形AMNP 内接于 M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB=21cm,CA=15cm,求菱形AMNP 的周长.分析：因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ，利用相似三角形对应线段的比等于相似比列方程求解.解:因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ， 设菱形边长为 解得所以菱形AMNP 的周长为35cm.变式8:如图（12）,,90 =∠=∠A BDG 四边形DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，AC=3,AB=4.分析:关于（1），由于DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，且边DE 重合在BC 上.知 BC ⊥DG, 得 而 ∠B= ∠B .可得△BDG ∽△BAC,.PCNPMN BM=所以，则χχχχχ--=1521,cm .435=χ.32)1(21DE S S GD BG）求；（）求；（求.41319321=---=---=S S S S S ABCOPQR 正方形，A BAD ∠==∠ 90;3522===+ACAB AC ACBC GDBG关于（2），从△BG D ∽△GFA 得关于(3)，由△BG D ∽△FCE 得而BD+DE+EC=5,可求解：(1) 因为正方形DEFG 内接于ABC Rt ∆，且边DE 重合在BC 上，又∠B=∠B ，可得 △BDG ∽△BAC, 所以（2）由 FG ∥BC ，有∠B =∠1，且∠BDG= ∠A ，所以 △BG D ∽△GFA ，有(3) 由△BG D ∽△FCE ∽△BCA 得所以由BD+DE+EC=BC=5,有上述八个变式源于课本而高于课本，变式过程层层深入，环环相扣，优美自然，将“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题变得一览无余，不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及课本例题的指导功能，而且让它们充分享受学;925)()(2221===GD BG GF BG S S ,43,34.34DE EC DE BD EC EF GD BD ====于是.3760=DE ;3522===+ACAB AC ACBC GDBG .92535)()(22221====）（GD BG GF BG S S ,4343,3434.34DE EF EC DE DG BD EC EF GD BD ======于是.3760=DE 解得.522=+=AC AB BC 由勾古定理得,90 =∠A 因为,90A BDG ∠==∠ 所以.54334=++DE DE DE习数学的快乐。