1 在运动中探索 在变化中思考

江苏省东台市五烈镇中学 杨荫林

（获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖）

摘要 在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。

在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。

关键词 命题 运动 变化 两圆内切、外切、外离、内含。

普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。

一. 原题中两圆内切

命题1 如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD.

O2O1NMFECBDAP NMPFEBCA

如图1 如图2

变化1 如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有

命题2 如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC.

设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立?

(1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC;

(6)S⊿ACE:S⊿BCF=PE:PF．

变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有

命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD 2 MPDCBA QPDCBA

如图3 如图4(甲)

Q

PBCDA QPCBA

如图4(乙) 如图5(甲)

变化3 如果大圆静止，小圆向外运动，则得：

二.变化为两圆相交

命题4如图4，两圆相交于点P，Q，大圆的弦AD交小圆于点B，C.试探求∠APB与∠CQD的关系.

变化4如果大圆的弦AD再与小圆相切,那么有

命题5如图5,两圆相交于点P,Q,大圆的弦AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BQC的关系.

PQCBA PQBA

如图5(乙) 如图6

变化5接图5(乙)如果AC变化为两圆的外公切线,那么有

命题6如图6,两圆相交于点P,Q,AB为外公切线,A,B为切点,试探求∠APB与∠AQB的关系.

变化6如果大圆静止,小圆继续向外运动,则得下列情形.

三.变化为两圆外切

命题7如图7,两圆外切于点P,大圆的割线AD交小圆于点B,C.试探求∠APB与∠CPD的关系.

变化7如果把上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APB与∠CPD的关系. 3 PCDBA PCBA

如图7 如图8

变化8如果大圆的割线切小圆于点C,那么有

命题8如图8,两圆外切于点P,大圆的割线AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BPC的关系.

变化9接上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APC与∠BPC的关系.

变化10接图8,如果AC变化为两的外公切线,那么有

命题9如图9,两圆外切于点P,AB为公切线,A,B为切点,试求∠APB的度数.

在大家的合作交流，探索研究中发现，上述命题中常要添置的辅助线是公切线或公共弦；需要运用弦切角定理、圆内接四边形的性质、切线长定理、三角形内角和的有关性质来探求两角相等或互补。

四．变化为两圆外离

命题10如图10(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AD交小圆于B,C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P,直线DE,CF交于点Q.试问:∠APB与∠CQD相等或互补吗?为什么?

O2O1NMQPFEBCDANMO2O1QPEFBCDA

如图10(甲) 如图10(乙)

提示:如图10(甲)∠CQD=1800-∠DCQ-∠CDQ=1800-∠N-∠M=1800-(900-∠EFP)-(900-

∠FEP)=1800-∠APB,即∠APB与∠CQD互补.

命题11如图11(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AB切小圆于C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BE交直线CF于点P,Q.试问:∠APC与∠BQC相等或互补吗?为什么?

4 NMO2O1QPFECBA GNMO2O1QPEFCBA

如图11(甲) 如图11(乙)

命题12如图12,两圆外离,AB是公切线,A,B为切点, 连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P.(1)试问:∠APB=900吗?为什么?(2)求证:BD∥AE,(3)求证:BD⊥AC,(4)求证:∠AEB=∠AFB

QO2O1DCFEPBA O2O1MNFEPQBCAD

如图12 如图13(甲)

五.变化为两圆内含

命题13如图13(甲)(乙), 大圆的弦AD交小圆于B,C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P,直线DE,CF交于点Q.试问:∠APB与∠CQD相等或互补吗?为什么?

O2O1NMCDQPFEBA QPO2O1MNFECBA

如图13(乙) 如图14(甲)

命题14如图14(甲)(乙),两圆内含,大圆的弦AB切小圆于C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BE交直线CF于点P,Q.试问:∠APC与∠BQC相等或互补吗?为什么? 5 O2O1EFNMCPQBA

如图14(乙)

通过上述图形的运动变化,我们发现“变中有不变”的道理,因此,学会用运动变化的观点去观察研究几何图形的性质,从中探索和发现某些规律性的东西,这样有助于培养学生利用迁移规律,促进知识、技能的广泛而积极的迁移.在教学中,鼓励他们自主学习,独立思考,合作交流,探索实践创新,在发展他们求同思维的同时,注重发展学生的求异思维,积极培养他们良好的思维品质,努力提高他们的学习质量.

当变化为同心圆时,仍可得到命题13，14的结论,所以,此情形这里不再赘言.

从上述命题的图形可以看出,它们添置的辅助线是弦AM,CN和DM,证明思想相仿.证明的依据仍然是三角形内角和,圆周角定理,圆内接四边形,弦切角定理,直角三角形等相关性质.在图14(乙)中,∠BQC=1800-∠B-

∠BCQ=1800-∠M-∠ACF=1800-(900-

∠PEF)-(900-∠PFE)=∠PEF+∠PFE=∠APC

即∠APC与∠BQC互补.