第十一章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑L L ；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1)23451111133333-+-+-L ； (2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••L ；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++L ； (4)234511212312341234512345••••••••••+++++L 。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项：(1)2341357++++L ；(2)+L ；(3)2242468x x ++⨯⨯⨯⨯L 解答：(1) 21nn -；(2) 1(1)n --(3)2242n xn•L 。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n+=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--L ，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==L ，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和： (1)1326n n n n ∞=+∑；(2)11(2)n n n ∞=+∑；(3)1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4)1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑L ； (3)111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n n n n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4)11n n ∞∞===-∑∑1n ∞==∑1==-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1)121n nn ∞=+∑；(2) 12nn n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n n n ∞=+∑发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12nn n ∞=∑发散； (3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n nn nn n u n e n nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

所属章节：第十一章第一节 难度：一级6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 11ln(1)n n ∞=+∑；(2)1πsin 2nn ∞=∑；(3) 2111n n n ∞=++∑；(4) n ∞=(5)1n ∞= (6) 11sin n n ∞=∑；(7)11(0)1nn a a∞=>+∑；(8) 1ln(1n ∞=+∑；(9) 1!(0)n n n a n a n∞=>∑ （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a >1时收敛，当a ≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a <e 时收敛，当a ≥e 时发散解答：(1) 由于11ln(1)n n >+，而级数11n n ∞=∑发散，故正项级数11ln(1)n n ∞=+∑发散；(2) 由于sin 22n n ππ≤，而级数1π2n n ∞=∑收敛，故正项级数1πsin 2n n ∞=∑收敛；(3) 由于2111n n n +⋅→+，所以正项级数2111n n n ∞=++∑发散；(4)由于321n →，所以正项级数1n ∞=(5)由于1n ≥，而级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1n ∞=(6) 由于1sin 1n n ⋅→，所以正项级数11sin n n ∞=∑发散；(7) 当1a >时，由于2101n n a ⋅→+，所以正项级数111nn a ∞=+∑收敛， 当1a ≤时，由于1112na ≥+，所以正项级数111n n a∞=+∑发散； (8)由于1n→，而调和级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1ln(1n ∞=+∑发散；(9) 当a e <时，由于111(1)!lim lim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a au n a n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==<++，所以原级数收敛，当a e ≥时，由于111(1)!11(1)!(1)n n n n n n n u a n n a au n a n en++++=⋅=≥>++，所以原级数发散。

（注：本题已改用比值判别法所属章节：第十一章第二节 难度：二级7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1(21)!!3!nn n n ∞=-∑；(2) 213nn n ∞=∑；(3) 11ln (1)nn n ∞=+∑；(4) 132nnn n ∞=•∑；(5) 1!n n n n ∞=∑； (6)211()3n n n n n∞=+∑；(7) 211arcsin n n ∞=∑；(8) 11πtan 2n n n ∞+=•∑；(9) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a (n →∞)，a n 、b 、a 均为正数参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛（参考答案有误？）；(7) 收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；(8) 收敛；(9) 当b <a 时收敛，当b >a 时发散，当b =a 时不能判定解答：(1) 由于11(21)!!3!212lim lim lim 13(1)!(21)!!3(1)3n n n n n n nu n n n u n n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<+-+，所以正项级数1(21)!!3!nn n n ∞=-∑收敛； (2) 由于221122(1)3(1)1lim lim lim 1333n n n n n n nu n n u n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<， 所以正项级数213n n n ∞=∑收敛；(3)由于1lim01ln(1)n n n →∞==<+，所以正项级数11ln (1)nn n ∞=+∑收敛； (4)由于312n n ==>， 所以正项级数132nnn n ∞=•∑发散； (5) 由于11(1)!11limlim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n u n n u n n en++→∞→∞→∞+=⋅==<++， 所以正项级数1!nn n n∞=∑收敛； (6)由于1(1)1nn n e +==>，所以正项级数211()3n n n n n∞=+∑发散； (7) 由于221arcsin 11n n→，而级数211n n ∞=∑收敛，所以211arcsin n n ∞=∑收敛；（注：由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）(8) 由于11(1)tan12limlim12tan 2n n n n nn n u u n ππ++→∞→∞+==<， 所以正项级数11πtan2n n n ∞+=•∑收敛； (9) 当a b >时，由于lim 1n n n b ba a →∞==<，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，当a b <时，由于lim 1n n nb b a a →∞==>，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，当a b =时，由于lim 1n n nb ba a →∞===，所以1n n nb a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性无法判定。

所属章节：第十一章第二节难度：二级8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：(1)1n ∞=(2) 21en n n ∞-=∑；(3) 21arctan 1n nn ∞=+∑；(4)11(1)ln(1)pn n n ∞=++∑参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p >1时收敛，当p ≤1时发散 解答：(1)由于积分23113x +∞+∞==+∞⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散；(2) 由于积分22111122x x xe dx e +∞--+∞=-=⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (3) 由于积分22121arctan 13arctan 1232x dx x x π+∞+∞==+⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (4) 当p >1时，由于积分1111111ln (1)(1)ln (1)1(1)ln 2p pp dx x x x p p +∞-++∞-=+=++-+-⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。

当1p =时，由于积分111ln ln(1)(1)ln (1)pdx x x x +∞+∞=+=+∞++⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。

当1p <时，由于积分11111ln (1)(1)ln (1)1p pdx x x x p +∞-++∞=+=∞++-+⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。

综合知，原级数当p >1时收敛，当p ≤1时发散。

所属章节：第十一章第二节 难度：二级9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：(1) lim0!n n a n →∞=；(2) !lim 0n n n n→∞=；(3) 3lim 0!2n n n n →∞=• 解答：(1) 由于1limlim 011n n n nu au n +→∞→∞==<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知lim 0!nn a n →∞=； (2) 由于11(1)!1lim lim 1(1)!n n n n n nu n n u n n e ++→∞→∞+=⋅=<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知!lim0nn n n →∞=； (3) 由于1113!2lim lim 01(1)!23n nn n n n n nu n u n +++→∞→∞⋅=⋅=<+⋅， 所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知3lim0!2nnn n →∞=•。