第十二章无穷级数
1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ）
A.∑
∞
=+1
n 2
2
1n 3n B. ∑
∞
=+-1
n n
1n )1( C. ∑
∞
=--3
n 1
n n ln )1( D.
∑
∞
=+1
n 1n n
32 2.设幂级数∑∞
--1
)3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ）
A ．∑
∞
=++15312n n n B ．∑
∞
=--+11)1(1n n n C ．∑
∞
=-15
1
n n
D ．∑
∞
=--1
1
)1(n n n
4．设正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）
A ．∑∞=+1
100n n u B ．∑∞=++1
1)(n n n u u C ．∑∞
=1
)3(n n u
D ．∑∞
=+1
)1(n n u
5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑
∞
=+11
1
n n n B. ∑
∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+13101n n
C.
∑
∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+12
110
1
n n n D. ∑
∞
=+11
3
2n n n
6.无穷级数∑∞
=023n n n
的前三项和S 3=( )
A.-2
B.
419 C.8
27
D.
8
65
7.幂级数1!
n
n x n ∞
=∑的和函数为（ ）
A.1x e -
B.x e
C.1x e +
D.2x e +
8.已知幂级数()n
1
1n n a x ∞
=+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1
1
!n n ∞
=∑
的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1
f x -⎧=⎨⎩ ,
,
0x x ππ
-≤≤≤＜
()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则()S π-=______________.
11.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π, π]，上的表达式为f
(x )=⎩
⎨⎧∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.
12.设函数f (x )是周期为2π的函数,f (x )的傅里叶级数为
()
∑∞
=--+-1
21
2,cos 4
1π3
1
n n nx n
则傅里叶级数b 3=_____________. 13．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为
[)[)⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈=.π,0,2
3
sin .0,π,0
)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0）=__________.
14．设f (x )是周期为2π的函数，f(x)的傅里叶级数为
∑
∞
=+-+--+-11
2)sin )1()12cos(π)12(2(2πn n nx n
x n n 则傅里叶系数a 2=___________. 15.无穷级数∑∞
=0!
2n n
n 的和为 .
16. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.
17．求幂级数∑
∞
=+1n n 3
2
x 1
n n 的收敛半径和收敛区间. 18.判断级数()∑
∞
=-+-1
3
1
321n n n
n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
19．判断无穷级数∑
∞
=1
!n n
n n 的敛散性.
20．判断无穷级数∑
∞
=--+1
2
1
2)1(1n n n 的敛散性. 21.判断无穷级数()∑∞=-2ln 1n n
n
的敛散性.
22.判断无穷级数∑∞
=+1
)1
1ln(n n 的敛散性.
23.判断级数121
2(1)sin
n n n
π
∞
-=-∑是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？
24．判断无穷级数1
2(
)31
n
n n n ∞
=+∑的敛散性。

25．设函数3
()sin f x x x =的马克劳林级数为0
n n n a x ∞
=∑，求系数10a 。

26.已知无穷级数1
n n u ∞=∑收敛，并且1
n
n k
k S u ==∑
(1)求112;n n n S S S +-+-(2)求11lim(2).n n n n S S S +-→∞
+- 27.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数. 28.将函数()x x x f +=1ln )(2展开为x 的幂级数. 29．将函数5
1
)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 30．将函数4
)(+=
x x
x f 展开为x －1的幂级数. 31.设()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0
,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求
系数b 7.
32．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ-,的傅里叶级数展开式为∑
∞
=++1
n n n 0)nx sin b nx cos a (2a 求
系数a 5 .
33．设无穷级数∑
∞
=1n 2n
a 和∑
∞
=1
n 2n
b 均收敛，证明无穷级数∑∞
=1
n n n b a 是绝对收敛.
34.将函数()2
31
2
+-=
x x x f 展开为(x +1)的幂级数. 35.证明无穷级数 +++++++++++
n
21132112111收敛,并求其和. 36．设无穷级数∑∞
=1n n u 收敛，证明：0lim =∞
→n n u .
37.证明无穷级数∑∞
==+1
.1)!1(n n n
38.将函数21
()2
f x x x =--展开成1x -的幂级数.
39.将函数f (x )=
2
1
x 展开为(x +1)的幂级数.
40．证明：无穷级数∑∞
=
-
=
+
+
-
+
1
2
1
)
1
2
2
(
n
n
n
n。