第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
例
1 ∫ z dz = a
b
z cos z 2 dz = ∫
a
b
解:因为都是单连域的解析函数,所以可用不定积分求解 因为都是单连域的解析函数,
1 ∫ z dz = ln b − ln a a
1 z cos z dz = (sin b 2 − sin a 2 ) ∫ 2 a
2 b
b
2.复连通区域上的科希定理 2.复连通区域上的科希定理
a是区域内的一点. 是区域内的一点 是区域内的一
l
是区域上包围a点的任一闭合线 是区域上包围 点的任一闭合线. 点的任一闭合线
解
f (ξ ) ∫l ξ − a dξ =
f (a ) ∫cξ − a dξ =
(C是以a为圆心的小圆) (C是以a为圆心的小圆) 是以
1 = f (a) ∫ dξ = f (a ) ⋅ 2π i cξ − a
意义:解析函数在其域上任一点的值等于 意义 解析函数在其域上任一点的值等于 其域上包围该点的任一闭合线的 回路积分. 回路积分
由此可得解析函数的又二重要性质: 由此可得解析函数的又二重要性质:
(1)解析函数有任意阶导数 解析函数有任意阶导数. 解析函数有任意阶导数
f
(n)
f ( z ) 是积分区域上的解析函数, 是积分区域上的解析函数,
i
i
l
是区域的外境界线 是区域的外
l i 是区域的第 i 个内境界线 是区域的第
意义:复连通区域上的解析函数，沿区域的所有内外境 意义 复连通区域上的解析函数，沿区域的所有内外境 复连通区域上的解析函数 所有 界线正方向的积分之和等于零 界线正方向的积分之和等于零. 意义:复连通区域上的解析函数，沿区域的 意义 复连通区域上的解析函数，沿区域的外境界线逆 复连通区域上的解析函数 时针方向的积分等于该函数沿区域的所有 的所有内境界 时针方向的积分等于该函数沿区域的所有内境界 线逆时针方向积分之和. 线逆时针方向积分之和
0
2)沿直线 0---1+i
直线参数方程 : z = (1 + i )t或( y = x)
3)沿抛物线 0---1+i 解: 1)
1+i
抛物线方程 : y = x 2
1+ i
3
(1 + i ) z 2 dz = ∫ ( x + iy ) (dx + idy ) = x 2 dx + (1 + iy ) 2 idy = ∫ ∫ ∫ 3 0 0 0 1
同时可得求围道积分的方法: 同时可得求围道积分的方法: 积分的方法
f (z ) = f (ξ ) ∫l ξ − z dξ 2π i 1
f (ξ ) ∫l ξ − z dξ = 2π i f ( z )
2π i ( n −1) f (ξ ) ∫ (ξ − z ) n dξ = (n − 1)! f ( z ) l
例2 解:
计算回路积分 的情况: n ≥ 0 的情况:
(z − a )n dz ∫l
(n为整数 n ≠ −1 )
( z − a) n 是闭合回路所围区域上的解析函数， 是闭合回路所围区域上的解析函数， 根据科希定理有
(z − a )n dz = 0 ∫l
n < −1 的情况: 的情况:
∴
z − a = Re iϕ 作一个以a为圆心以 为半径的小圆C: 作一个以a为圆心以R为半径的小圆C: 的小圆
=
z +i =
∫ε
z /(9 − z 2 ) dz z − (−i )
(在圆内只有一个奇点-i, 在圆内只有一个奇点可以化为在以可以化为在以-i为圆心 的小圆的积分) 的小圆的积分)
= 2πi[
z ] z =−i = π (9 − z 2 ) 5
科希公式
f
(n)
n! f (ξ ) ( z) = ∫ (ξ − z) n+1 dξ 2πi l
例1 解:
计算回路积分
1 ∫l z − a dz
不包围a的情况: (1) 回路 l 不包围a的情况: 根据科希定理有
1 ∫l z − a dz = 0
z − a = Re iϕ
包围a的情况: (2) 回路 l 包围a的情况: 作一个以a为圆心以R为半径的小圆C: 作一个以a为圆心以 为半径的小圆C: 的小圆 根据复连通区域上的科希定理， 根据复连通区域上的科希定理，有
= πi
dz 1 dz dz = [∫ −∫ ] = − 1 [ 2π i ] 2 ∫ z −1 2 z −1 z +1 c2 2 c2 c2
= −πi
dz ∫ z =2 z 2 − 1 =0
例 计算积分
f (ξ ) ∫l ξ − a dξ =
f ( z ) 是积分区域上的解析函数 是积分区域上的解析函数,
例1 计算积分
I 1 = ∫ Re Zdz
l 1: 0 → 1 → 1 + i
l1
I 2 = ∫ Re Zdz
l2
I 3 = ∫ Re zdz
l3
解:
I1 =
i
(折线)
l2 : 0 →i →1+ i
(折线)
1
l3 : 0 → 1 + i
(直线)
∫ xdz +
0
1
1+ i
∫ xdz =
1
∫
0
1
xdx + ∫ idy = 1 + i 2 0
4.化积分为求和
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )dz
l n →∞ k =1 k
n
k
二.科希定理
1.单连通区域上的科希定理
f ( z ) 是单连域上的解析函数.
∫ f (z )dz = 0
l
l
是单连域的境界线或单连域内的任一闭合回路. 是单连域的境界线或单连域内的任一闭合回路.
意义: 意义:单连通域的解析函数在该域上 沿任一闭合回路的积分为零. 沿任一闭合回路的积分为零.
f
(n)
(z) =
n! 2π i
∫
l
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − z )
科希公式
f (ξ ) f (z ) = ∫l ξ − z dξ 2π i 1
f (ξ ) ∫l ξ − z dξ = 2π i f ( z )
例:计算 解:
z ∫=2 (9 − z 2 )( z + i) dz = z z ∫=2 (9 − z 2 )( z + i) dz = z
l
n! (z) = 2π i
∫
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − z )
z是区域内的一点. 是区域内的一点.
l (ξ )
是区域内包围z点的闭合线, 是区域内包围z点的闭合线, 是闭合线上的点 上的点. 是闭合线上的点.
(2)解析函数在边界上达最大值. 解析函数在边界上达最大值 解析函数在边界上达最大值
(实虚部在单连域内处处可导且满足C-R条件的函数) 实虚部在单连域内处处可导且满足C 条件的函数) 单连域内处处可导且满足
2.化为参数的路径积分
∫ f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t )dt
3.化为两个实的路径积分(线积分) 化为两个实的路径积分( 积分
∫ f ( z )dz = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy)
( n ≠ −1)
1 (l不包围a点) 0 ∫l z − a dz = 2π i (l包围a点)
例 解
dz 计算积分 ∫ z =2 z 2 − 1
∫
z =2
dz dz dz =∫ 2 +∫ 2 2 z − 1 c1 z − 1 c2 z − 1
dz 1 dz dz 1 ∫ z 2 − 1 = 2 [c∫ z − 1 − c∫ z + 1] = 2 [2πi] c1 1 1