点到直线的距离公式的推导过程
一、公式的导出
设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？
解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,(
.0D P d d =，则距离为
2
02022000220002
200222002000000/)()()
()(;00,
0),
(;
,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A
B
y y A B
k l l B A k C By Ax l l -+-=
∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=⎩⎨⎧=-+-=++=-+--=-=⊥-
=⇒=++，
，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
.
)()()(22002
22
002
220022200B
A C By Ax
B A
C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=
即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为：
.2
2
00B
A C
By Ax d +++=
二、公式的应用
（一）求点到直线的距离：
例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P
⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶
.1-=y
分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式．
解 ⑴式，得根据点到直线的距离公
： .5
6
)4(35
24)1(32
2=-++⨯--⨯=
d ⑵，得：将直线方程化为一般式
.053=-x 式，得根据点到直线的距离公：
.3
8
035
20)1(32
2=+-⨯+-⨯=
d ⑶，得：将直线方程化为一般式
.01=+y 式，得根据点到直线的距离公：
.31
01
21)1(02
2
=++⨯+-⨯=
d
评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
（二）求两平行直线间的距离：
例2、之间的距离．和求两平行直线04320632=--=+-y x y x 分析：因为两平行直线间的距离处处相等，所以，我们可以在其中的某条直线上任取一点P （一般是取其与坐标轴的交点），则两平行直线间的距离即为点P 到另外那条直线的距离．
解：在直线），则：，（轴的交点上取其与020432P x y x =--
．1313
10)3(2603222
2=
-++⨯-⨯=
d
（三）证明两平行直线的距离为：与ＡＡ２001=++=++C By x C By x ．2
221B A C C d +-=
证明：如图所示，设(),,,122222D l P l y x P 作垂线，垂足为向过点∈
.2d D P 距离的长即为两平行线间的则，垂线段
,即d d ∴∴=
三、课堂练习
1、求点（2,1）到直线0543=+-y x 的距离．
2、求点（1,-2）到直线的距离．3=-y x
3、求直线0742=++y x 和直线之间的距离．62=+y x
附答案：1、5
7
=d ； 2、0=d ；3、．105
19=d
四、课后练习
1、求下列点到直线的距离：
⑴ 01243)23(=++-y x A ，，
； ⑵ 033)11(=-+y x B ，，； ⑶ ．，0)2,1(=--y x C 2、求下列各平行线间距离：
⑴016320632=++=-+y x y x 与； ⑵．与02230423=+-=--y x y x
3、在y 轴上，求与直线的点．的距离等于103
1
x y =
附答案：1、⑴
511； ⑵ 21
； ⑶ ．223 2、⑴
131322； ⑵ 13
13
6． ３、 ．，和，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-310100310100 五、课后作业
练习册距离公式》．之练习七《点到直线的21P。