§7 向量应用举例7．1 点到直线的距离公式7．2 向量的应用举例[学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．直线的法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．(2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．2．点到直线的距离公式设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝x 2＋y 2. 4．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量m v 是数乘向量．(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．要点一 直线法向量(或方向向量)的应用例1 已知△ABC 的三顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF 、FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在的直线上任一点，则CN →⊥AB →，CN →·AB →＝0，CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程． 规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决． 跟踪演练1 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离． 解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)， 在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP →0＝(－6,2)， ∴点到直线l 的距离d 就是PP →0在法向量n 上的射影． 设PP →0与n 的夹角为θ.∴d ＝|PP →0||cos θ|＝|PP →0|·|PP →0·n ||PP →0|·|n |＝|PP →0·n||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋25＝2 5.故点P 0到直线l 的距离为2 5. 方法二 由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|211×2－10|5＝2 5.要点二 向量在平面几何中的应用例2 如图，已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .解 设OA →＝a ，OB →＝b ，且AM →，BN →的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13a ，又∵AM →＝OM →－OA →＝12b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13a －b ，∴AM →·BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ＝－5， |AM →|＝10，|BN →|＝5， ∴cos θ＝－55·10＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角， ∴∠MPN ＝3π4.规律方法 (1)本题可以选择OA →，OB →作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算．(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向． 跟踪演练2 已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长．解 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4cos 60°，4sin 60°)，C (3,0)，∴AC →＝(3,0)，AB →＝(2，23)， ∵BC →＝AC →－AB →＝(1，－23)， ∴|BC →|＝1＋()－232＝13.要点三 利用向量解决物理中的问题例3 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点． 由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°. 在Rt △COD 中，OD ＝OC cos 45°＝752，CD ＝75 2. 又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)， ∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2. 在Rt △OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502，sin ∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB →|＝1502，∠BOE ＝30°.故没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，航向为西偏北30°.规律方法 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下： (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解； (4)利用这个结果，对原物理现象作出解释．跟踪演练3 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ，由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.1．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________． 答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)．由题意cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12.2．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________． 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.3．正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.即cos ∠DOE 的值为45.4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向． 解 如图，设水的速度为v 1，风的速度为v 2，v 1＋v 2＝a . 易求得a 的方向是北偏东30°，a 的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v .方向由南向北，大小为2 3 km/h ， 船本身的速度为v 3，则a ＋v 3＝v，即v 3＝v －a ，数形结合知v 3的方向是北偏西60°， 大小是3 km/h.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)得到答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、基础达标1．已知A ，B ，C ，D 四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形答案 A解析 ∵AB →＝(3,3)，DC →＝(2,2)，∴AB →∥DC →，|AB →|≠|DC →|，∴四边形为梯形．2．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°答案 D解析 作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.3．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定答案 B解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形．4．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0， ∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.5．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________． 答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点， AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．已知点A (－1,2)，B (0，－2)，若点D 在线段AB 上，且2|AD →|＝3|BD →|，则点D 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25解析 由题意得OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋35AB →＝(－1,2)＋35(1，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25.7．如图，点O 是▱ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，由E ，F 分别为对应边的三等分点，得 FO →＝FA →＋AO →＝－13a ＋12AC →＝－13a ＋12(a ＋b )＝16a ＋12b ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(a ＋b )－13a＝16a ＋12b . 所以FO →＝OE →.又因为O 为其公共点，所以点E ，O ，F 在同一直线上． 二、能力提升8．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( ) A ．－2B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0.∴m ＝－2或12.9．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10答案 C解 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0， 所以四边形ABCD 的对角线互相垂直， 又|AC →|＝12＋22＝5， |BD →|＝42＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 10．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________． 答案 [2,3]解析 由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0,2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.11．如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 设木块的位移为s ，则W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)． F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|＝|F |·sin 30°＝50×12＝25(N)．则f ＝μ(mg －|F 1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F 与f 所做的功分别是500 3 J 与－22 J.12．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF ⊥CD .证明 建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)， 则D (－a 2，b2)，CD →＝(－32a ，b2)．易知△ABC 的外心F 在y 轴上，可设为(0，y )． 由|AF →|＝|CF →|，得(y －b )2＝a 2＋y 2，所以y ＝b 2－a 22b ，即F (0，b 2－a 22b)．由重心坐标公式，得E (a 6，b2)，所以EF →＝(－a 6，－a 22b)．所以CD →·EF →＝(－32a )×(－a 6)＋b 2×(－a 22b )＝0，所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD . 三、探究与创新实用标准文案大全 13．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点． 求证：AR ＝RT ＝TC .证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，则AC →＝a ＋b .由于AR →∥AC →，所以设r ＝n (a ＋b )，n ∈R .又∵EB →＝AB →－AE →＝a －12b ， ER →∥EB →，故设ER →＝mEB →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . ∵AR →＝AE →＋ER →，∴r ＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b . 所以n (a ＋b )＝12b ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ， 即(n －m )a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋m －12b ＝0.由于a 与b 不共线，故必有⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0，解得m ＝n ＝13，∴AR →＝13AC →， 同理TC →＝13AC →，于是RT →＝13AC →. ∴AR ＝RT ＝TC.。