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第六章分形造型简介
迭代函数系统生成的植物
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第六章分形造型简介
6.4 工程应用4—分形造型


分形造型理论揭示了有序与无序的统一， 确定性与随机性的统一。 分形造型的研究早期是以模拟自然景物 为目的，不同的景物应根据其特点，采 用不同的模型。如山峰、海岸线等，可 采用随机插值模型；火焰、喷泉一类的 动态景物适合采用粒子系统。
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第六章分形造型简介
6.4 工程应用4—分形造型


目前分形造型技术在工程领域也得到广 泛应用。 布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连 成。只要有足够的分辨率，就可以发现 原以为是直线段的部分，其实由大量更 小尺度的折线连成。这是一种处处连续， 但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子 轨迹可以用分形几何描述。
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分形形体中的自相似性


测量海岸线的长度 大树与树枝的关系在几何形状上称之为 自相似关系。 分形形体中的自相似性可以是完全相同， 也可以是统计意义上的相似。
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6.2 分形几何的维数
如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似 的b个图形所组成， 则 aD=b D=logb/loga 关系成立，则指数D称为维数，D可以是 整数，也可以是分数。
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L系统（正规文法模型）
基于L系统的三维植物造型
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三. 粒子系统


粒子系统是W.T.Reeves于1983年提出的 模拟不规则模糊自然物体随机动态特性 的方法。 它能够有效地模拟动态的、结构随时间 而波动的模糊自然景物，如火焰、下雪、 行云、随风摇曳的树林等。
计算机图形处理 及其在工程中的应用
第六章
分形造型简介
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第六章分形造型简介 内容
6.1 概述 6.2 分形几何的维数 6.3 分形造型的常用模型 6.4 工程应用4—分形造型
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6.1 概述
自然界中的许多事物如蜿蜒曲折的海 岸线、连绵的山川、雪花、树木、飘浮 的云朵、岩石的断裂口等是如此的丰富 多彩、不规则和支离破碎，拥有与欧氏 几何完全不同层次的复杂性。 分形几何则提供了一种描述这种不规 则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一．随机插值模型
山脉的形成
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二. L系统（正规文法模型）



1969年美国科学家Aristid Lindenmayer提出了 一种研究植物形态与生长的描述方法L系统。 1984年Alvy Ray Smith将L系统应用于计算机图 形学中，形成分形生成和模拟自然景物的一种 典型方法。 其基本思想是用正规文法生成结构性强的植物 的拓扑结构，再通过进一步几何解释来形成逼 真的画面。
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6.3 分形造型的常用模型



一．随机插值模型 二. L系统（正规文法模型） 三. 粒子系统 四. 迭代函数系统
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一．随机插值模型

随机插值模型是1982年由Alain Fournier 、 Don Fussell和Loren Carpenter提出的， 它能有效模拟海岸线和山等自然景象。
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பைடு நூலகம்
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一．随机插值模型


通过多边形细分的方法构造山的模型。 如果采用三角形细分，可以在三角形的 三条边上随机各取一点，并沿垂直方向 偏移一定距离后得到三个点，再连接成 四个三角形。如此继续下去，就可以构 造出褶皱的山峰。 山的褶皱程度由随机偏移量控制 。
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二.L系统（正规文法模型）



利用L系统生成一株植物，每一个新枝的参数 均由其前一个分枝递归计算而来，父枝的数据 作为新的参数进行递归调用，求出子枝的数据。 在植物生成程序中，受两个重要参数的控制。 一个是递归深度，它控制着从初始生成元开始， 到最末分枝所经历的次数；另一个是分枝密度， 它控制同一递归深度上最大的分叉数，即一个 父枝上长几个子枝。 这两个参数既控制树的最终形态，又影响计算 速度。
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6.4 工程应用4—分形造型
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四. 迭代函数系统


迭代函数系统是美国佐治亚理工学院 Demko和Barnsley等人首创的一种分形图 形的方法。 迭代函数系统是以仿射变换为框架，根 据几何对象的整体与局部具有自相似结 构，经过迭代而产生。
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四. 迭代函数系统



该模型方法就是要选取合适的映射集合、 概率集合和初始点，使得所生成的无数 点集能模拟某种自然景物。 用迭代函数系统绘出的分形图形具有无 穷细微的自相似结构，能够较准确地描 述客观事物。 只要选取适当的变换，就可以生成任意 精度的图形效果。
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三. 粒子系统


粒子系统的基本思想是用单个随时间变化的粒 子作为景物造型的基本元素，每个粒子都有各 自的生命周期，要经历从“产生”、“生长” 到“消亡”三个阶段。 采用随机过程的方法，控制粒子的产生数量， 确定新产生粒子的一些初始随机属性，并在粒 子的运动和生长过程中随机地改变这些属性， 可以实现不规则模糊物体的模拟。
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6.2 分形几何的维数
第一次迭代
第二次迭代
Koch曲线
第五次迭代
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6.2 分形几何的维数
Koch曲线的形成


将一条线段去掉其中间的1/3，然后用三角形的 两条边去代替，不断重复上述步骤。Koch曲线 的整体是一条无限长的线折叠而成 。 用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量， 其结果是0。那么只有找一个与Koch曲线维数 相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数 显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数） 了，所以Koch曲线是分数维。
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6.2 分形几何的维数
Koch曲线的维数的计算


初始三角形的每条边分成4等份，而每一等份 是原来尺寸的1/3，即 b=4，1/a=1/3。 运用维数计算式可得 D=(log4)/(log3)≈1.2618 即Koch曲线的维数是1.2618。 显然，Koch曲线处处连续，但又处处是尖点， 处处不可微，不难证明它的周长为无穷，而面 积却为零。