N 1 1

ln
D1

lim
r 0
i1 N N lim ln N
ln(1/ r)
r0 ln(1/ r)
可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和 Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1<D0。
(4) 关联维数
空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间， 系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维， 甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过 它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对 于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统 演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间 的维数即所谓的关联维数。
D0

ln N (r) ln(1/ r)

ln 2 ln 3

0.63093
(3) 个小盒子的概率为Pi，那么用尺 度为r的小盒子所测算的平均信息量为
N (r)
I Pi ln Pi i 1
若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以
▪分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
分形理论及其应用
▪分形理论简介 ▪应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究 ▪应用实例之二：沙漠化的分形研究 ▪应用实例之三：
R/S分析法在城市气候研究中的应用
分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自 然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标 度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无 限提供了一种新的工具。
k
( 1 )2
k
一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d
维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子
数目N(r)和所用尺度r的关系为
N(r) 1 rd
变形得
d ln N (r) ln(1/ r)
定义为拓扑维数
（2）Hausdorff维数
几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二 是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何 对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总 长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷 大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的 定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限 图形，可以得出分形维数的定义：
分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发
展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却 是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理 论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、 社会分形、经济分形、思维分形等。
分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学
的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随 着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90 年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科——分形地 理学。
当r=1/3时， 当r=(1/3)2时，
N (r) 4， L(r) 4 3
N (r) 42，L(r) ( 4)2 3
……………
当r=(1/3)n时，
N (r) 4n，L(r) ( 4)n 3
根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是
D0

lim
r0
ln N (r) ln(1/ r)
对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方 形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所 需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式
N(1) 4 1
2
(1)2
2
若r=1/4，则
N(1) 4

16

1 (1)2
4
当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则
N(1) k2 1
得到信息维D1的定义 N(r)
Pi ln Pi
D1

lim
r 0
i 1
ln(1/ r)
如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么 Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的 定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设
分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即
1 Pi N

ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
➢Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合， 拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0 , 1)区间上的线段 分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉
中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷 稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒 子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是
D0

lim
r0
ln N (r) ln(1/ r)
上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。 拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维 数而小于分形所位于的空间维数。两个实例
➢可以用分形模拟真实的海岸线。首先在单位长 度的一条直线的中间1/3处凸起一个边长为1/3的正 三角形，下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个 边长为(1/3)2的正三角，如此无穷次地变换下去， 最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分 形。每次变换所得到的图形，相当于用尺度r对海 岸线分形进行了一次测量，如果设尺度r测得覆盖 海岸线的盒子数为N(r)，海岸线的长度为L(r)，有：
▪分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。