) d
4.3 Stokes 公式：
Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndS
C Q Q R P R P ( y z ) dydz ( z x ) dzdx ( x y ) dxdy
C
Pdx Qdy Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D Q P ( x y ) d D
或
C
Pdx Qdy Pdy Qdx F nd divFd
2
1
d
2 ( )
1 ( )
sin d
2 ( , )
1 ( , )
f ( , , ) 2d
（切片法： Dz z ）
（球坐标）
5.4 曲线积分 类型 形式 第I型
I 4 f ( x, y, z )ds
C
第 II 型（ F Pi Qj Rk ）
ba
S ( D)
dx d
质量
V () L(C)
S ( )
dV ds dS
ds
dS
矩 质心 转动惯量
--
弯曲薄板的质量 变力做功
功、流量、 环量、通量 流量、通量
--
（或流量或通量） 流量（通量）
--
--
定向曲面
--
四、重要联系及公式
4.1 Newton-Leibniz 公式： f ( x)dx F (b) F (a )
二、共同点
2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值
三、不同点
类型 定积分 二重积分 三重积分 第I型 曲线积分 第I型 曲面积分 第 II 型 曲线积分 第 II 型 曲面积分 几何 背景 面积 体积 --物理 背景 细杆的质量 平面薄板的质量 几何体的质量 弯曲杆件的质量 积分 区域 区间 平面区域 空间区域 无向曲线 曲面 (未定向) 有向曲线 特殊被积 函数“1” 微元 应用点
5.5 曲面积分 类型 形式 第I型
I 6 f ( x, y, z )dS

第 II 型（ F Pi Qj Rk ）
I 7 F ndS F dS

Pdydz Qdzdx Rdxdy

（流量或者通量） 曲面方程 是否定侧 微元
: g ( x, y, z) c
x2 y 2 z 2
dV 2 sin d d d
函 任意 数 微元
f ( x2 y 2 , z) f ( x2 z 2 , y) f ( y z , x)
2 2
dV dxdydz
dV rdrd dz
积 分 向坐标面投影或先 向 坐 标 轴 向坐标面投影或先 （ ） 次序 一后二或切条法 投 影 或 先 一后二法或切条法 二 后 一 或 （ z r ） 切片法 不 等 z1 ( x, y ) z z2 ( x, y ) ( x, y ) Dxy 式组 积 分 形式
g D
I 7 F
D
g |g p|
d
六、Green 公式
环量—旋度形式：
Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D
(
D
Q x
P y ) d
通量—散度形式：
Pdy Qdx F nd divFd
未定侧
dS
g g p
定侧（即选定 法向量 n 的方向）
d
g dS nds d ，其中 n 与 的梯度 g p
方向一致取“+” ，否则取“-” 其中： p i （往 yoz 面投影）或 j （往 zox 面投影）或 k （往 xoy 面投影） 积分形式
I 6 f ( x, y, z ) |g p| d
C D D Q P ( x y ) d D
大前提：曲线 C 分段光滑。 条件：① 曲线 C 正向； ② 曲线 C 封闭； ③ P、Q 在 C 及其内部具有一阶连续偏导数。 6.1 满足所有条件 直接使用 Green 公式的两种形式之一进行计算皆可，效果相同。 6.2 若仅不满足条件①，则在 C 上满足 Green 公式的条件，在 C 上的技术结果 乘以（-1）即可。即有：
Pdx Qdy
C
C C1 Cm

Pdx Qdy
C1
Pdx Qdy

Cm
Pdx Qdy
七、Gauss 公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdV
P ( x Q y R z ) dV
面积微元 特点 分类 区 域 特征 D 不等 式 二次积分 I型 极点在 D 内部
d rdrd
D 为圆域、环域或扇形域 II 型 极点在 D 外部 界 III 型 极点在 D 边

（以先 r 后 的积 分次序为 例）
1 2 , 0 r r ( )
1 2 , 0 r1 ( ) r r2 ( )
a
D
b

I 4 f ( x, y, z )ds ； I 5 F dr Pdx Qdy Rdz ；
C C C
I 6 f ( x, y, z )dS ； I 7 F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy

C D D Q P ( x y ) d D
6.3 若仅仅不满足条件②，则可采用添加光滑曲线 C1 以便使用 Green 公式。 添加时候， 应注意： 1） 在 C C1 以及 C C1 内部应该满足 Green 公式的条件， 2） C1 尽量简单且积分 Pdx Qdy 容易计算。即有：
区 分类 域 图形 D 不等 式
Y-型 略
x1 ( y ) x x2 ( y ), c yd
复杂 略 分细 多个 X，Y 型之和

b
a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy

d
c
dy
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y )dx
利用 D 的对称性和 f ( x, y) 关于某个变量的奇偶性计算 被积函数中含有 x 2 y 2 项
大前提：曲面分片光滑。 条件：① 曲面 取外法线方向； ② 曲面 封闭； ③ P、Q、R 在曲面 及其内部具有一阶连续偏导数 7.1 满足 Gauss 公式的所有条件，则直接使用 Gauss 公式计算。 7.2 若仅有条件①不满足，则可在 上使用 Gauss 公式。即
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
, Cm 。应注意：
, Cm 完全包含于 C 内； , Cm 定向为顺时针方向；
,m ；
3）每个 Ci 内部有且只有一个点不满足条件③， i 1, 2, 4）曲线积分
Ci
Pdx Qdy 容易计算， i 1, 2,
,m 。
则在曲线 C C1 C2
Cm 及其内部满足 Green 公式的条件。于是
czd ( x , y ) Dz
z1 ( r , ) z z2 ( r , ) r1 ( ) r r2 ( )
1 2
1 ( , ) 2 ( , ) 1 ( ) 2 ( ) 1 2
f (r , , z )dz
4.4 Gauss 公式：
Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdV
Q P R ( x y z ) dV
五、基本计算方法
5.1 定积分 方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论： （1）对称性与奇偶性： （2）周期性： （3）无界性：
《高等数学》中的积分学总结
高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分） 、二重积分、三重
积分、曲线积分（对弧长、对坐标） 、曲面积分（对面积、对坐标） 。 一、符号形式
I1 f ( x)dx ； I 2 f ( x, y)d ； I 3 f ( x, y, z )dV ；
a
b
b
a
f ( x)dx
5.2 二重积分
I 2 f ( x, y)d ，其中 D 为平面有界区域。
D
面积微元 特点 直 角 坐 标 系 二次积分 特殊方法 特点 极坐标系
x r cos y r sin
d dxdy
任意 X-型 略
y1 ( x) y y2 ( x), a xb
直角 ( x, y, z )
柱坐标 (r, , z)
x r cos y r sin zz
球面坐标 ( , , )
x sin cos y sin sin z cos
特 区 任意 点 域
坐标面的投影为 圆形、环形、 扇形区域
球体、半球体、 锥面与球面围成的立 体 被 积 函 数 含 有
a b
4.2 Green 公式： 环量—旋度形式：
Pdx Qdy rotF kd F kd
C D D Q P ( x y ) d D
通量—散度形式：
Pdy Qdx F nd divFd
C D D P ( x D Q y
1 2 , r1 ( ) r r2 ( )