第五节测量误差基础知识一、测量误差概述1.测量误差产生的原因测量时，111于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。
实践证明，产生测量误差的原因主要有以下三个方面。
(1)人为因素。
由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性，主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面。
(2)测量仪器的原因。
山于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素。
(3)环境因素。
外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周圉建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等。
测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。
热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。
但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。
在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。
这种差异都是山于测量中存在误差的缘故。
测量所获得的数值称为观测值。
山于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值(简称为真值)之间存在差异, 这种差异称为测量误差(或观测误差)。
用L代表观测值，才代表真值，则误差二观测值厶一真值X,即(5-1)\ = L-X这种误差通常乂称之为真误差。
由于任何测量工作都是山观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。
观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低：若观测条件相同，则可认为精度相同。
在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。
由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的LI的不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究, 以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。
例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等。
所有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。
二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：(-)系统误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差.例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。
这些误差都属于系统误差。
系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数佔读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度及大气折光等的影响。
系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
方法有两种：一是在观测方法和观测程序上釆取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。
例如在水准测量中，保持前视和后视距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。
另一种是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。
例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。
（二）偶然误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为偶然误差。
例如在水平角测量中照准U标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样；乂如在水准测量或钢尺量距中估读亳米数时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样，这些都属于偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，主要是山于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的佔读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成。
偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统汁分析，就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。
错误产生的原因较多，可能曲作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了LI标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。
发现错误的方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。
在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。
下面详细分析偶然误差的特性。
三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。
偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显地看出它的统计规律。
例如在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
已知三角形内角之和等于180°,这是三内角之和的理论值即真值兀实际观测所得的三内角之和即观测值厶山于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差即真误差以下分两种方法来分析：（一）表格法由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例为"A二3"）,分别统计在各区间正负误差出现的个数&及其出现的频率k/n （严217）,列于表5-1中。
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27"。
实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。
表三角形内角和真误差统计表w为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来 表示。
以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率&//?与区间d △的比值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等 于误差出现在该区间内的频率矽”。
如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出现 在+6"〜+9"之间的频率，等于0. 069o 显然，所有矩形面积的总和等于1。
寿(5_2)可以设想，如果在相同的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出 现在各区间的频率就趋向于一个稳定值。
当力一8时，各区间的频率也就趋向于一 个完全确定的数值一一概率。
若无限缩小误差区间，即〃△一0,则图5-1各矩形 的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线(如图5-2所示)，称为误差 概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统讣中，它服从于正态分布，该曲线 的方程式为式中：△为偶然误差；。
(>0)为与观测条件有关的一个参数，称为误差分 布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。
其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k/n. Ill 概率统计原理可知，频率即真误差出=limHfg Vn(5-3)现在区间d △上的概率P(A),记为根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性:(1) 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限 值； (2) 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； (3) 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；(4)抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。
即lim — =0(5-5)n式中[△]=△] +△•>+•・・+亠=£亠1=1在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为E (A)二0。
图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，(5-4)其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。
例如图5-3中，曲线I、II为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形状中可以看出两组观测的差异。
当△二0时，/；（△） = —^,心（△）= —是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I的峰值较曲线II的高,即故笫I组观测小误差出现的概率较第II组的大。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1,所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。
因此，曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小, 因而观测精度较高。
而曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。
第二节评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。
在图5-3中, 从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。
用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不实用。
因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定精度的指标。
在测量中评定精度的指标有下列儿种：一、中误差由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。
在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数/HI•算出标准差的估值定义为中误差血作为衡量精度的一种标准，计算公式为m = ±<r = （ 5-6 ）【例5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：【解】用中误差公式(5-6)计算得: +「+(- 2)- 4-(-1)' +0- +(- 3)-=±2.0 ' 6+ (-4)2 +(- 3)2 +5? — =±4.3 ”6从上述两组结果中可以看出，屮组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。