z=a
= ex
A sin πct
μ0c
a
2-2 设在一载有稳恒电流i的长直导线附近，有一矩形闭合 回路，边长为a和b，其中b边平行于长导线。当回路在 包含长导线的平面内以匀速v离长导线而运动时，求回 路中的感应电动势。
解：在矩形线圈内，B的方向与线圈平面的法线方向一 致，所以有：
∫ ∫ ∫ Φ =
又 μ r =1
∴ Ei − Er =
结合两式得到
Qω = 2πf
1+
2
σ
Ei = Et
(1− j)
2ωε 0
σ 2ωε 0
(1 −
j )Et
z 导体
∴
σ= 2ωε 0
5.8 ×107
4π ×109 × 8.854 ×10−12
≈ 22832
∴ Et
≈
2
22832(1 −
j) Ei
=
1 16145
Ei
1-1试证明两个空间矢量r1(r1,θ1,ϕ1) 和矢量r2 (r2 ,θ 2 ,ϕ 2 ) 之
间的夹角Θ 的余弦为 cosΘ = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2cos(ϕ1 − ϕ2 )
解：矢量 r1{r1sinθ1cosϕ1 , r1sinθ1sinϕ1 , r1cosθ1} ,
y′)
e
y
+
1 2
2(z − R
z′)
ez
=
R R
∇
1 R
=−1 2
2(
x− R3
x
′)
e
x
−
1 2
2( y − R3
y′) e y −
1 2
2(z − z′) R3 ez
=−
R R3
∇′R
=
∂R ∂x′
ex +
∂R ∂y′
ey
+
∂R ∂ z′
ez
=
−
1 2
2(x − R
x′)
ex
−
1 2
2(y − R
ge
=
Ee He
=
Ee 2 cμ0
= 1.53×106尔格 /
秒.厘米2
=
104 107
1.53×106 焦耳
/
秒.米2
= 1.53×103焦耳
/
秒.米2
所以， Ee2 = cμ0 ge = 3×108 (米/秒) × 4π ×10−7 (亨利/米)
×1.53×103焦耳 / 秒.米2
Ee
=
759伏 /
b. 如采用一 λ 4 阻抗变换器进行匹配，则该匹配段的特 性阻抗Z和长度l为多少？
c. 当工作频率变为80MHz时，如仍采用上述匹配段，则 线上的驻波比变为多少？
矢量 r2 {r2sinθ 2cosϕ 2 , r2sinθ 2sinϕ 2 , r2cosθ 2 } ,
r1• r2 = r1 r2 cosΘ , r1 • r2 = r1xr2x + r1yr2 y + r1zr2z
所以 cosΘ = r1• r2
r1 r2
= cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2 (cosϕ1cosϕ2 + sinϕ1sinϕ2 ) = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2cos(ϕ1 −ϕ2 )
−
α
2 t
+ 2 jαrt
•
r
βt
= ω 2 μ(ε
+
σ jω)
ki I
II
σ
因为良导体内 ωε >>1，所以 βt ≈ αt ≈
αrt
r
• βt
= α tz β tz
=
1 ωμσ
2
=
1 2
ω
2
μ
0
ε
0
σ ωε 0
ωμσ
2
>>
1 ω2
2 c2
=
1 2
k
2 i
α tz β tz >>
1 2
k
2 i
=
Δω
2
到
∫ [ ] E = 1
Δω
ω
0
+
Δω 2
ω
0
−
Δω 2
E
0
(ω
)exp
j(k•
r−ω
t) dω
设在所考虑的区间变化不大，且有
k(ω )
=
k(ω 0 )
+
(ω
−
ω
0
)(
dk
dω
)
0
+L≈
k0 +
(ω
−
ω
0
)(
dk
dω
)
0
将其代入上式，得
∫ E = E0
Δω
ω
0
+
Δω 2
ω
0
−
Δω 2
exp
⎡ ⎢⎣
计算 ∇ • B 和 ∇ × B
解：柱坐标系下 ∇ • a = 1 ∂(ρaρ ) + 1 ∂aϕ + ∂az ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
∴∇ •
B
=
10e−2r cosϕ
r
−
20e−2r
cosϕ
= ( 2, 0,3)
−15e−4
∇×a
=
eρ
(
∂az
ρ∂ϕ
−
∂aϕ ∂z
)
+
eϕ
(
∂aρ ∂z
−
∂az ) +
导线单位时间内的焦耳损耗。
解：设稳恒载流直导线中的电流强度是I，导线表面的磁
场强度是
H
=
I 2πa
eϕ
，一段l长导线周围流入导线的功率：
∫ P = −
(E×
H)•d
s
=
−I
πa 2σ
(ez × eϕ ) • eρ
I
2πa
2πal
=
I 2l
πa 2σ
=
I
2R
,
(其中R
=
l
πa 2σ
)
这正好是该导线单位时间内的焦耳损耗。
1 2
(k
2 ix
+
k
2 iz
)
所以
α tz β tz >>
k
2 ix
=
β
2 tx
所以 β tz >> β tx
所以 β tz≈ βt
以接上近证法明线了方在向任，意入射角情形下，αωt 垂直于导体表面，β t 也
所以折射定理为 sinθ t = ki = c
2ω
sinθ i β t ωμσ c 2 μσ
B• d s =
iμ0 2πρ ′
bdρ ′
=
iμ0 2π
b
ρ+a ρ
dρ ′ ρ′
=
iμ0 2π
b
lnρ ′ ρ+a ρ
=
iμ0 2π
b
ln
ρ+ ρ
a
ε = − dΦ = − iμ0b ρ d (1 + a ) = iμ0abv dt 2π ρ + a dt ρ 2πρ(ρ + a)
2-3试利用坡印亭矢量分析稳恒载流直导线中的能量传输 问题，并证明由此导线周围流入导线的功率恒等于该
米,He
=
Ee
cμ0
=
2.01安 /
米
ge
=
Ee He
=
Ee 2
cμ0
= 1.53×106尔格 /
秒.厘米2
=
104 107
1.53×106 焦耳
/
秒.米2
= 1.53×103焦耳
/
秒.米2
Es 2
gs ge
=
4πrs2−e 4πrs2
=
cμ0
Ee 2
,
cμ0
Es = 1.63×105 伏 / 米,
2-4太阳在正午入射地球表面，与入射方向垂直的单位面 积上所具有的能量为1.53×106 耳格 秒 ⋅ 厘米2 称为太阳
常数。试求在地球表面上太阳光的电磁场强度。设太
阳半径Rs 等于7 ×1010 厘米 ，太阳中心与地面间的距离
Rs−
是
e
1.5
×1013
厘米
。求太阳表面上的电磁场强度。
解：化为国际单位制。1焦耳= 107尔格
⎡ ⎢⎣
A
π a
cos πz a
cos
πct a
⎤ ⎥⎦
∫ B
=
−
A c
e
y
cos
πz a
⎢⎣⎡cos
πct a
⎥⎦⎤d
πct a
=
−
A c
ey
cos πz a
sin
πct a
式中积分常数因与时间无关，系静磁场，所以令其为零。
b.在z=0,和z=a面上,由边界条件 σ f = Enε 0 = 0 c.由边界条件 k f = en× (H2 − H1) , en 由1指向2，
2
3-5 1GHz x方向极化的平面波沿+Z方向从空气入射到位于x-y平面
的金属面（铜质，εr =1，μ r =1，σ =5.8×107s/m）上，电场幅度
为12mV/m，求金属中的电场磁场时间表达式。
解：首先考虑电磁波在空气和金属表面发生折射和透射的情况：
⎩⎨⎧HEii
+ Er − Hr