A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文在充分了解问题背景和参考资料前提下，通过建立动力学模型和非线性规划模型对嫦娥三号软着陆轨道进行设计，从而制定软着陆各个阶段的最优控制策略。

最后运用协方差分析法对所设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

针对问题一，我们首先根据近月点、月心和着陆点在同一经度平面的特点，以此平面为基础建立月心坐标系，将空间位置问题转化为平面几何问题。

然后在嫦娥三号θ=，软着陆的主减速段建立动力学模型，求得主减速段末端位置到近月点的极角7.53再结合地理和几何知识确定出着陆准备轨道近月点位置为19.51,36.59W N，距月球表面15km；根据远月点和近月点的对称关系，易得远月点位置为160.49,36.59E S，距月球表面100km。

最后，运用牛顿定律求得嫦娥三号在近月点速度大小为1.6725/km s，其方向垂直于纵坐标轴水平向右；同理可得在远月点速度大小为1.6334/km s，其方向垂直于纵坐标轴水平向左。

针对问题二，我们首先确定嫦娥三号软着陆的始末状态，初步确定软着陆轨道主要由主减速段的抛物线轨迹和后面各阶段竖直方向上的直线轨迹两部分组成。

然后对软着陆轨道进行离散化，以最少燃料消耗为目标函数，建立非线性规划模型和优化模型。

接着运用遗传算法进行轨道设计的仿真计算，得到月心距、极角、径向速度和横向速度随时间的变化曲线，根据这四个运行参数的变化情况对软着陆轨道进行详细刻画。

最后结合问题一得到的结果和以上四个运行参数的变化情况，制定6个阶段的最优控制策略。

针对问题三：要求对问题二设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

首先由协方差分析法原理确定影响误差主要有：位置误差和速度误差。

通过计算向月飞行轨道误差的协方差迭代方程、检验其显著性与分析敏感性结果可知，需要对问题二所设计的轨道和控制策略进行中途修正和改进。

文章的最后，对三个问题所建立的模型进行评价和改进，具有一定的参考价值。

关键词：动力学模型非线性规划最优控制策略遗传算法协方差分析一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在软着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生m s，1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940/可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定软着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是软着陆轨道与控制策略的设计。

其软着陆轨道设计的基本要求：软着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；软着陆轨道为从近月点至软着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定软着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的软着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的软着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析2.1问题一分析问题一要求确定软着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

首先我们根据近月点、着陆点与月心组成的平面过19.51W将月球平均分成两半，以此平面为基础，建立月心坐标系，将空间问题转化为平面几何问题。

结合牛顿第二定律和万有引力定律求解得到嫦娥三号在近月点与远月点的速度的大小。

根据在引力场中的动力学方程，建立嫦娥三号在月球引力场中软着陆动力学模型，最后结合几何知识求解得到远月点、近月点的具体位置。

2.2问题二分析问题二要求确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

由题设和附件所给的图可知，嫦娥三号的轨道主要由抛物线轨迹和垂直月球表面的直线轨迹合成，所以可在问题一所建立的月心坐标系基础上，运用几何知识求出主减速段的抛物线轨迹方程，进而考虑将着陆轨道离散化，以燃料消耗最少为目标函数，建立非线性规划模型确定出嫦娥三号运行的月心距、极角、径向速度和横向速度这四个运行参数随时间的变化情况，以此来对着陆轨道进行更详细的刻画。

最后，结合问题一的结果和上述分析结果，来对6个阶段的最优控制策略进行制定。

2.3问题三分析问题三要求对问题二设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

首先分析影响嫦娥三号运行轨迹的影响误差主要是：位置误差和速度误差。

考虑利用协方差分析法计算这两个误差的协方差迭代方程，最后再检验其显著性和敏感性分析来确定是否需要对问题二所设计的轨道和控制策略进行中途修正和改进。

三、模型假设1.假设太阳和地球的第3天体引力摄动忽略不计；2. 由于月球的形状扁率为1/963.7256，假设月球近似球形，质量均匀分布；3. 假设月球自转速度与非球形摄动忽略不计；4. 假设嫦娥三号在一个平面内运动，不考虑侧向运动。

四、符号说明五、模型建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.1.1模型准备万有引力定律：万有引力是任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引产生。

引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

即：122M M F G r=， 其中F 为两物体间相互吸引的作用力、即万有引力，12M M 、为两物体的质量，查阅资料[1]知11226.6710G N m kg -=⨯⋅⋅，r 为两物体间的距离。

5.1.2嫦娥三号软着陆动力学模型建立求解嫦娥三号在近月点与远月点的速度，主要考虑软着陆过程的主减速段。

当嫦娥三号在月球引力场运动时，嫦娥三号的尺寸远小于其重心和月球的重心之间的距离，因此视嫦娥三号为质点。

已知条件告诉我们，嫦娥三号在近月点15公里处以抛物线下降，再结合牛顿第二定律和万有引力定律，可得嫦娥三号在近月点15公里处下抛的临界条件为22()()v GMm m R h R h =++近， 其中，万有引力常数11226.6710G N m kg -=⨯⋅⋅，由附件所给的数据，可知月球的质量227.347710k M g ⨯=，嫦娥三号的质量 2.4m t =，月球的半径1737.013m R k =，嫦娥三号距离月球表面的高度15h km =，得1.6725/()GM v km s R h =≈+近 将软着陆下降段近似为在同一个平面内飞行，建立二维坐标系描述嫦娥三号软着陆月球的过程，示意图见图1。

图1：嫦娥三号软着陆主减速阶段示意图 近月点、着陆点与月心组成的平面过19.51W 将月球平均分成两半，故可将空间问题转化为平面问题。

在近月点、着陆点与月心组成的平面的基础上，以月心原点O ，以近月点与月心的连线为y 轴，与y 轴垂直的直线为x 轴，建立月心坐标系xOy 。

以月心为极点，极轴的方向与y 轴重合建立极坐标系。

在下抛的过程中，嫦娥三号在软着陆过程中只受到月球引力L F 和制动发动机的推力t F 的作用。

θ为极角，r v 为径向速度，v θ为横向速度，ϕ为推力矢量与横向速度的夹角，L F 为月球引力，t F 为制动发动机的推力且满足15007500t N F N ≤≤。

根据月心坐标系下的位置速度摄动方程，并将嫦娥三号质量作为状态变量加入状态方程中，建立嫦娥三号软着陆动力学模型，具体模型[2]如下表示：22sin cos rr r t r t L e dr v dt d v dt r dv GM v F dt r r m dv v v F dt r m dm F dt v θθθθϕϕ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=-⎪⎩其中，r v 表示径向速度，v θ表示横向速度，ϕ表示推力矢量与横向速度的夹角，L F 表示月球引力，t F 表示制动发动机的推力，G 表示万有引力常数，M 表示月球的质量，m 表示嫦娥三号的质量，r 表示嫦娥三号距离月球表面的高度。

设嫦娥三号在近月点开始软着陆，即在近月点为初始状态，其终端为主减速段结束。

设初始时刻0t =0，终端时刻f t ，则嫦娥三号在初始状态的初始条件有（1）近月点处的月心距为月球半径与近月点距月球表面距离之和，即01752.013r km = （1.1）（2）在近月点处的极角0θ= （1.2）（3）近月点处的径向速度0r v = （1.3）（4）近月点处的轨道速度，即下抛的临界速度=1.6725/v km s 近 （1.4）（5）嫦娥三号在软着陆准备轨道上的运行质量0 2.4m t = （1.5）考虑到嫦娥三号软着陆的目的，嫦娥三号在终端状态应当满足如下要求：（1）在月球表面3000米的嫦娥三号的月心距为月球半径与3000米高度之和，即1740.013f r km = （1.6）（2）终端时刻的径向速度()57/r f v t m s = （1.7）联立（1.1）~（1.7）式，可得满足嫦娥三号软着陆的初始状态与终端状态的条件为00(0)(0)0(0)0(0)()(0)()0()57r ff f r fr r v v v r t r m m v t v t θθθ=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎪=⎩近 其中，f t 为给定的飞行时间。

5.1.3模型求解（1）通过matlab 编程求解，得到主减速段末端位置到近月点的极角7.53θ=,又根据嫦娥三号在3000米高度时的月心距，根据平面几何知识可求得从近月点到距月球表面3000米高的水平位移，如图2所示。

图2：近月点到距月球表面3000米高的水平位移求解示意图则求得近月点到距月球表面3000米高的水平位移sin 228f f x r km θ=≈（2）相关地理资料显示，相邻纬度间的距离纬度大约为30km ，则可求得水平位移经过的纬度为7.53，则近月点的纬度为(44.127.53)36.59N N -=,根据远月点与近月点对称关系，得远月点的纬度为36.59S 。

因为近月点与嫦娥三号软着陆点的经度相同为19.51W ，则远月点的经度为18019.51160.49-=，根据远月点与近月点的对称关系，则可得远月点的经度为160.49E 。

近月点的位置为19.51W 、36.59N ，距月球表面15km ；远月点的位置为160.49E 、36.59S ，距月球表面100km 。

（3）根据牛顿第二定律和万有引力定律求得近月点的速度大小为=1.6725/v km s 近，结合上述所建立的平面直角坐标系知，其方向垂直y 轴水平向右；同理可得远月点的速度大小为=1.6334/s v km 远，方向垂直y 轴水平向左。