直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.
(二)能力训练点
通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.
(三)学科渗透点
通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.
二、教材分析
1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.
2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.
得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合.
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？
设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.
重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.
这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.
当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.
当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.
(二)斜截式
已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.
这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:
y-b=k(x-0)
也就就是
上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.
当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.
(三)两点式
已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.
当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.
对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.
此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.
解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得
就就是
学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.
引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.
对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.
(五)例题
例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.
解:直线AB得方程可由两点式得:
即 3x+8y+15=0
这就就是直线AB得方程.
BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:
由斜截式得:
即 5x+3y-6=0.
这就就是直线BC得方程.
由截距式方程得AC得方程就是
即 2x+5y+10=0.
这就就是直线AC得方程.
(六)课后小结
(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.
(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.
(3)要注意四种形式方程得不适用范围.
五、布置作业
1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:
(1)经过点A(2,5),斜率就是4;
(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;
(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.
解:
2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:
解:
(1)(1,2),k=1,α=45°;
(3)(1,-3),k=-1,α=135°;
3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:
(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.
4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.
(1)P1(2,1)、P2(0,-3);
(2)A(0,5)、B(5,0);
(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).
解:
(图略)
六、板书设计。