（二）参数选择的方法
选择待定点的平差后高程作为参数。 （三）水准网误差方程的一般形式
设已j,k点的平差后高程为参数
hˆi = Xˆ k − Xˆ j
Xˆ k
=
X
o k
+
xˆk ,
Xˆ
j
=
X
o j
+
xˆ j
则vi = −xˆ j + xˆk + li
j
其中li
=
−X
0 j
+
X
0 k
− hi
k hi
例 有水准网如图。A，B为已知水淮点，且有HWuAh＝an 1Un0iv.e0rs0it0y
（3） （4）
2
⇒
Lˆ1
=
Байду номын сангаас
Xˆ 1
−
P2
HA
（6）
Lˆ2 + H A − Xˆ 2 = 0
（5） ⇒ Lˆ2 = Xˆ 2 − H A （7）
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 = Lˆ1 − H A + H B = Xˆ1 − 2H A + H B （8）
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 = Lˆ1 − Lˆ2 = Xˆ1 − Xˆ 2
⎢⎣an
b3 bn
⋯ ⋯
t2
⎥ ⎥
⋮⎥
tn
⎥ ⎦
⇒ [ pab]xˆ1
+ [ pbb]xˆ2 +⋯+ [ pbt]xˆt ⋯⋯
= [ pbl]⎪⎪ ⎬ ⎪
[ pat]xˆ1 + [ pbt]xˆ2 +⋯+ [ ptt]xˆt = [ ptl] ⎪⎭
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 Wuhan University
⎫h5
⎪ ⎪
h3
+
v3
=
Xˆ 3
取参数的近似值 X 0 = H A + h1 = 6.996m
Xˆ = X 0 + xˆ = H A + h1 + xˆ = 6.996 + xˆ
得误差方程为：
v1 = xˆ ⎫
v2
=
xˆ
−3
⎪ ⎪
v3 = xˆ − 20⎪⎬
v4 = xˆ − 6 ⎪⎭
⎡v1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 0 ⎤
⇒
⎢⎢v2
⎥ ⎥
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未 知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是 否便于计算而定。
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如果选取的t个参数中有下列函数关系
ϕ ( Xˆ1, Xˆ 2 ⋯ Xˆ t ) = 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数，另 选取一个独立的参数代替。
(8)、(9)代入(3)变化后得：
Lˆ5 = Lˆ3 + Lˆ4 = 2 Xˆ1 − Xˆ 2 − 2H A + HB
（9） （10）
间接平差函数模型：Lˆ = F ( Xˆ )
n1
t1
Lˆ = B Xˆ + d
n1 nt t1 n1
Xˆ = X 0 + xˆ
L +V = B( X 0 + xˆ) + d
⇒ BT PV = 0
∂xˆ
∂xˆ
V = B xˆ− l l = L − (BX 0 + d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ− BT P l = 0
令 NBB
tt
=
BT PB，W t1
=
BT Pl
则： NBB xˆ −W = 0
－－间接平差的法方程
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B
试按间接平差法列出误差方程。
解：必要观测为3
设
Lˆ1 = Xˆ1, Lˆ4 = Xˆ 2, Lˆ6 = Xˆ 3
L 2L3
C
A L1 L4 L5
L6
Xˆ
0 1
=
L1
=
48�17′01′′,
Xˆ
0 2
=
L4
=
48�35′12′′,
Xˆ
0 3
=
L6
=
56� 01′ 49′′
Xˆ 2
=
Lˆ
⎬ 4 ⎪⎭
∵ Xˆ1 + Xˆ 2 − ∠BAC = 0
L6 C
L1 D L5
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三、平差值方程的列出
如果误差方程中常数项的有效数字位数较多时，则由它们
组成的法方程常数项的数字位数也就较多，这给后续的计算增
加了困难。此时，为了简化计算工作，必须引进来知数的近似
量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m，
h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,S4=1km,HD= 3.768m ，
A
试按间接平差法求P点的高差平差值。 1
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数
（1）列误差方程
Xˆ
P
2
4
C 3
h1 h2 h3
+ + +
v1 v2 v3
= = =
Xˆ Xˆ Xˆ
− − −
HA HB HC
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
⇒
v1 v2 v3
= = =
Xˆ Xˆ Xˆ
− − −
HA HB HC
− − −
h1 h2 h3
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
B
D
h4 + v4 = Xˆ − H D ⎪⎭ v4 = Xˆ − H D − h4 ⎪⎭
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例如 图中可以选择以下几组量作为未知数。
B
Xˆ1 = Lˆ1 ⎫⎪
Xˆ 2
=
Lˆ
2
⎬ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= Lˆ1 = Lˆ 4
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
Xˆ1 = Lˆ2 Xˆ 2 = Lˆ 6
⎫⎪⎬⋯⋯ ⎪⎭
A L2
L3
但是不能选择以下的一组未知数：
L4
Xˆ1 = Lˆ2 ⎫⎪
Xˆ = 6.996 + 5.8 /1000 = 7.002m
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二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数； 2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
xˆ = 5.83(mm)
（4）计算改正数
V = B xˆ− l
v1 = 5.8mm，v2 = 2.8mm，v3 = −14.2mm，v4 = −0.2mm
（5）计算平差值
Lˆ = L +V，Xˆ = X 0 + xˆ
Lˆ1 = 3.526m，Lˆ2 = 5.674m，Lˆ3 = 4.804m，Lˆ4 = 3.768m
l = L − (BX 0 + d ) = L − L0
V = B xˆ− l
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
=
σ
2 0
Q
nn
=
σ
2 0
P −1
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按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV
=
min
的要求， 则有： Wuhan University
∂V T PV = V T P ∂V = V T PB = 0
vi
=
fi ( Xˆ1, Xˆ 2 ⋯ Xˆ t ) =
f
i
(
X
0
1
+
xˆ1,
X
0
2
+
xˆ2
⋯
X
0 t
+
xˆt ) − Li
用级数展开并去掉高次项得：
vi
=
fi
(
X
0 1
,
X
0 2
⋯
X
0 t
)
+
(
∂fi ∂Xˆ 1
)0
xˆ1
+
(
∂fi ∂Xˆ 2
)0
xˆ2
+
⋯
+
(
∂fi ∂Xˆ t
)0
xˆt
− Li
第七章 间接平差
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重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并 能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程，以 及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单位 权中误差和参数函数中误差。
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例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ2
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
=
Lˆ4
⎪ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ2