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2011 年 第 3 期
中国股市已实现“核”波动研究
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图 1 中， 底部水平直线为预设真实波 动 率 IV 的股票逐日波动率， 上面的曲线为为用 RV 估计的
（选取方法参见文献[6]），中间的曲线为用 RK 估计 股票逐日波动率。
误差分析
RMSE MAE
实际误差 相对误差 实际误差 相对误差
用NYSE 市场中 GE 一个月日内逐笔数据，分别用两 种方法估计逐日波动率， 再利用统计意义上置信区 间的长度，从估计结果的稳定性方面验证了 RK 方法 优于 RV 方法。 Barndorff-Nielsen（2008）[9]证明了 RK 方法在股票价格服从跳散运动情况下以概率收敛到 积分波动率。 Barndorff-Nielsen（2008）证明了对称性 核密度函数是积分波动率的一致估计量， 而构造非 对称性核密度函数则需要对数据进行二次抽样。
ARFIMA（p，d，q）模型的形式为
“已实现”波动更加贴近真实值，说明 RK 方法能够 有效摒除噪音干扰，具有比较强的鲁棒性。 此外，RK 结果的方差更小，说明其估计量稳定性更好。 尤其 是图1-c，很多实证表明中国市场上股票价格行为更 多表现为跳跃-扩散过程， 所以模拟结果说明在中 国市场 RK 方法是适用的。
资产的日内的收益的不同阶数自协方差过程的加
权和，即
H
Σ Kw（Xδ；S）t= whγh（Xδ；S）
（1）
h=-H
其 中 ，w=（w-H，… ，w-1，w0，w1，… ，wH）′为 权 重 ，γh（Xδ；
S）为开始时间为 S 的“已实现”自协方差过程。 本文
所研究的类型是当 S=0， 即开始时间为 0 时刻的对 称型“已实现”核。 当 n→∞，如p 果 K（U）→0，K（pY）→
由文献[8]的证明结果将其确定为 10 分钟。
（三）RK 方法波动率估计有效性检验
积分波动率具有不可测性，因此缺少对日内波
动性进行精确估计的方法， 目前多数研究是将 RV 作 为 IV 的 一 种 代 理 估 计 方 法 。 Barndorff-Nielsen （2008）[8] 的实证采用 NYSE 市场中 GE 一个月日内 逐笔数据，在每一分钟内选取不同的成交价格作为 分时价格，用 RK 方法估计逐日波动率，再利用统计 意义上置信区间长度从估计结果的稳定性方面验 证了 RK 方法优于 RV 方法。 该实证方法工作量巨 大而且结果比较隐晦，如何直观的从对波动率估计 的精度上来验证 RK 方法相对于 RV 的优势这是本 文首先研究的问题。
由于 RK 模型提出时间很短， 国际上相关研究 还没有展开，在国内还是空白。 综观现有研究，国外 学者主要集中于对模型统计特性的讨论以及构造 不同核密度函数等方面， 对于 RK 预测模型构造目 前还没有相应的研究结果。 此外，RK 方法估计精度 的实证设计基本上都沿袭 Barndorff-Nielsen（2008） 中的方法，该实证过程工作量巨大而且结果比较隐 晦。 如何直观地从对波动率估计的精度上来验证 RK 方法的优势，如何利用 RK 模型的估计结果构造 对未来波动率的估计模型，以及在中国市场上验证 该方法的有效性是本文所研究的主要问题。
（天津大学 管理与经济学部， 天津 300072）
摘 要： 基于蒙特卡洛方法模拟出的股票价格路径分别考察“已实现”核波动（RK）、“已实现”波动（RV）方法的估计
精度，结果表明:RK 能有效滤出噪音更贴近于真实波动率。 进一步将 RK 与分整自回归移动平均模型结合，并对其
分数阶差分算法进行了修改，基于高频数据对我国股票市场的日波动率进行估计和预测。 研究结果表明:RK 方法在
第 13 卷第 3 期
北京理工大学学报（社会科学版）
2011 年 6 月
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY （SOCIAL SCIENCES EDITION）
Vol.13 No.3 Jun.2011
中国股市已实现“核”波动研究
王春峰， 郑仲民， 房振明
均方根误差、平均绝对值误差的实际值与相对值。
“已实现”核波动也有类似性质，所以对于 RK 可以
由图 1 可知，两条波动率估计曲线的变化趋势 采取分整自回归移动平均模型 ARFIMA（p，d，q）来
基本一致，且数量级相同，说明 RV、RK 均能真实反 建模。
应波动率的相对强弱。 明显地，“已实现”核波动较
70.75%
1.000
71.09%
跳跃-扩散过程
RV
RK
4.251 8 e-7 1.740 7 e-7
1.000
59.06%
3.140 4 e-7 1.523 9 e-7
1.000
51.47%
表 1 为 1 000 次模拟后，由式（4）、式（5）得到的 布 ，且 具 有 明 显 的 分 数 维 单 整 的 性 质 。 通 过 验 证 ，
中国市场条件下具有较好的适用性，相对于 RV 有更好的预测效果。
关键词： “已实现”核波动； 蒙特卡洛模拟； 分整自回归移动平均模型； 波动预测
中图分类号： F830
文献标识码： A
文章编号： 1009-3370（2011）03-0011-05
一、引言
为了验证 RK 较RV 方法有更高的估计精度，文章采
表 1 蒙特卡洛模拟结果
几何布朗运动
o-u 过程
RV
RK
RV
RK
3.035 2 e-2 9.610 4 e-3 3.758 5 e-2 1.194 1 e-2
1.000
68.34%
1.000
68.23%
2.758 4 e-2 8.067 0 e-3 3.437 7 e-2 9.939 5 e-3
1.000
≈1-3（ h ）2+（ h ）3 HH
h=0，1，…，H （3）
得到，这里 H 为最大滞后“已实现”自协方差的阶
数，其最优值等于 H*=cn1/2。 c 为待估参数，其一致
估计量可由c＾ =3.686
7ω
[X
*
δ
]
-1/2，
ω＾ 2=[X1min]/2n
确定，这
里 δ* 为低频采样频率， 根据中国市场的实际情况，
作者简介： 王春峰（1966—），男，管理学博士，教授，博士生导师；郑仲民（1980—），男，博士研究生。 E-mail：zm_zheng@
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北京理工大学学报（社会科学版）
2011 年 6 月
U，则股票的实际价格为 X＝Y+U。 由于股票市场价格
的构成包括有效价格和市场微观结构噪音价格，而
由表 1 可知，对于 RMSE 如果以 RV 为标的，则 在几何布朗运动、O-U 过程、跳跃-扩散过程中，RK 方 法 的 估 计 精 度 分 别 提 高 68.34% 、68.23% 、 59.06%；对 于 MAE 如 果 以 RV 为 标 的 ，则 相 应 RK 方 法 的 估 计 精 度 分 别 提 高 70.75% 、71.09% 、 51.47%。 以上数据表明 RK 方法比 RV 方法在精度 上有较大幅度的提高。 此外从表 1 还可以知道，在 跳跃-扩散过程中，RK 方法估计的精度要远高于其 在几何布朗运动和 O-U 过程中的表现—大约 5 个 数量级。 又由于跳跃-扩散过程是中国市场上股票 普遍的价格行为， 因此可以说明 RK 方法是适合中 国市场的一种波动率估计方法。
1．评价模型估计精度的标准 本文评价估计精度水平指标有均方根误差 RMSE，平均绝对值误差 MAE，各自定义如下
RMSE=E[（σt-X＾ t）2]1/2（4） MAE=E｜σt-X＾ t｜（5） 其中，X＾ t、σt 分别表示 t 时刻波动率的估计值与真实 值，指标值越小表明误差越小精度越高。 2．股票价格蒙特卡洛模拟 一般来说，学术界对股票价格走势的认识有四 种假说，分别为几何布朗运动[10]、O-U 过程[11]、跳跃扩散过程[12]、布朗桥运动[13]。 本文在这四种理论分布 下各自模拟出 1 000 条价格路径， 在此基础上分别 计算出 RV 和 RK，得到结果与预设的真实波动率进 行比较得到均方根误差和平均绝对误差，其结果如 图 1 所示。
且噪音价格又很难度量，因此在计算波动率时，采用
的方法必须尽量减少市场微观结构噪音的影响。
（二）“已实现”核波动模型
“已 实 现 ”波 动 （Realised Volatility，RV）为金融
M
Σ 资产的日内的收益平方之和，即：RV≡ （Xi+1-Xi）2， i=1
M 为日内等时间间隔的采样次数。
“已实现”核波动（Realised kerneபைடு நூலகம் ，RK）为金融
（一）基本假设 Yt 是一个在无摩擦自由套利市场上的对数价格
乙t
过程，其在完备概率空间上是布朗半鞅过程 Yt= 0 au
乙t
du+ 0 σu dWu 。 如果把市场摩擦的噪音价格定义为
收稿日期： 2010-04-28
基金项目： 国家自然利学基金资助项目（70771076）；国家杰出青年利学基金资助项目（70225002）
本文采用蒙特卡洛方法模拟股票价格在不同
假说下的演进路径：首先预设市场逐日波动率（简 单设 IV 为定值[10]，不影响结果）和趋势项，然后逐次 在几何布朗运动、O-U 过程、跳跃-扩散过程 、布 朗 桥运动条件下构造有效价格路径，最后通过添加随 机噪声得到真实价格路径， 该路径即为 RK 与 RV 方法的研究平台。 将上述过程多次重复，再利用误 差估计方法进行比较，即可得到统计意义上有效的 研究结果。
作 为 金 融 风险的度量，资产收益的波动率扮演着 非常重要的角色。 高频数据因为能够比较充分地反应 市场价格变化的信息，近 10 年来逐渐成为研究波动率 的基础性工具。 1998 年 Andersen，Bollerslev 提出了 “已实现”波动率（Realised Volatility，RV）估 计 方 法 ， 该方法实现了利用高频数据估计波动率的跨越。 RV 的概念和方法近年来获得不断地改进和发展： Andersen 和 Bollerslev 等 （2000，2001，2001，2003）[1-4] 给 出 了 “己 实 现 ” 波 动 率 的 理 论 解 释 ；Andesen 和 Bollerslev 等（2003）为 RV 进行了预测研究，并应用 于风险价值（VaR）的计算；黄后 川 、陈 浪 南[5]研 究 了 中 国 股 市 RV 的 不 对 称 性 和 长 记 忆 性 得 到 了 相 应 的结果。 RV 方法计算简单、理论背景深厚，自提出 以来一直被作为积分波动率 （Integrated Volatility， IV）[6-7]的一致估计量。 但是，RV 在超高频数据下不 能有效剔除市场噪音干扰，而且在分时数据的处理 上 RV 只利用了初始、结尾两个数据，忽视了时间段 内价格回复过程中的峰值与低值特征，这样在估计 过程中就造成了比较严重的信息丢失。 如何解决上