安徽理工大学 地球与环境学院 水资源与规划系
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
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*范围值：n×10-3~ n×10-5； 范围值：0.05~ 0.30。实际测出的值往往小于理论值。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给 出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介 质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
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由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的 质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。
则有：
即：
将
代入整理得：
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所以有
上式为三维流微分方程，也可写成：
物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体 积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。
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= =
由含水层状态方程，
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因为 则可得到： 所以有 ，Z为定值，则
于是连续性方程变为：
又 则
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令 根据连续性原理有： 则
起来的。
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§2-2 渗流基本微分方程
一、承压水运动的基本微分方程
基本假设： （1）单元体体积无限小，为承压含水层；
（2）含水层侧向受到限制，x、y为常量,z为变量,存在垂向压缩，水的密 度、孔隙度n和随压力p而变化；
*——贮水系数（storativity）。 *=sM
贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水 动力学计算中具有重要的意义。
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贮水率 表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含
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积分（p→p0，V→V0）改写得：
体积：
密度：
按Taylor级数展开，得到近似方程：
和
因
（质量守恒），故有
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2 、多孔介质的状态方程 多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在 压强变化时的压缩性的指标，用表示。
在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的 六面体，体积为 ，称为特征单元体，设单元体无限小，但保证单元 体穿过介质骨架和空隙。
设vx，vy，vz分别为该点在X、Y、
Z方向上的渗流速度。
Abcd面中点 沿X轴方向流入： 。
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适用于潜水含水层。 贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适
用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整
个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。
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在水位下降为Δ H时，有
即作用于固体骨架上的力增加了H。
。
作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导 致水的膨胀。
含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水 层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水—样。
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饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后 现象。
当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用 给水度表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率* 表示这 一部分的释水能力。 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。
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思考题 1、在松散层覆盖的岩溶地区，建立高楼群时，出现地表塌陷，如何解释这一现象？
2、一列火车经过一个松散含水层附近的观测孔，该孔水位如何变化？
3、我国不同地区因开地下水引起的地面沉降如何理解？
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Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb
式中 ——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固 体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p； ——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表示多孔介质中孔 隙的压缩性的指标。 n——多孔介质的孔隙度。 因 ，故 。
（3）由引起的变化 远小于单元体内液体质量的变化量（含） ，可忽略不计； （4）水流服从Darcy’s Law；
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（5）K不因 的变化而变化； （6）s和K也不受n变化（由于骨架变形）的影响。 流体的质量： 由于含水层的侧向受到限制，可假设x、y为常量，只考虑垂向压缩 。于是，只有水的密度.孔隙度n和单元体高度z三个量随压力而变化， 于是有：
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§2-1 渗流连续方程
一、含水层的状态方程 含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 1、地下水的状态方程 Hooke定律：
式中：E——体积弹性系数（体积弹性模量），20℃时，
E=2.1×105N/cm2。其倒数为压缩系数。 等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为
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流出：
利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有：
= 同理
单元体本身水质量在Δt时间内的变化量 为液体密度。 由质量守恒定律,得到渗流的连续性方程:
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或 上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体 积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于 该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个“局 部”所必须满足的质量守恒定律。
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二、 渗流连续方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程
水均衡的基本思想： 对某一研究对象，∑流入－ ∑流出＝ΔV
研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体。 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价。 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
若把含水层看作刚体，=constant，n不变，即水和介质
没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为
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上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体 积，即体积守恒。
连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运 动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立
Terzaghi令 ，因此有：
=
称为有效应力（effective stress）。
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图1—1 一个可压缩的承压含水层（J. Bear）
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多孔介质压缩系数的表达式为：
式中，Vb＝Vs+Vv——多孔介质中所取单元体的总体积； Vs——单元体中固体骨架（solid matrix）体积；
Vv——为其中的孔隙（voids）体积。
——介质表面压强；
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与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和
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上述二者之和所释放出的水量为
或 式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲 [L-1]，为弹性 释水[贮水] ；
式中 M——含水层厚度(m)；
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基本微分方程(Basic Differential Equation)是研究承压含水层中地下水运动 的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时 间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一时间内单位体 积含水层弹件释放(或弹性贮存)的水量（右端）。它还通过应用Darcy定律 反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了 渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。 数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。 在柱坐标系中，基本微分方程为：