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五、泊松过程
①独立增量过程
若随机过程X(t) (t≥0)满足条件
a: P(X(t0)0)1
b:对任意时刻，0t0t1 （ 任意tn给定 n+1时刻），如果过
程增量
X ( t 1 ) X ( t 0 ) X ( t , 2 ) 相X ( 互t 1 ) 独 立, , X ，( t n 则) 称X ( Xt n (1 t) )为独立增
还要介绍这些模型在水文随机过程模拟及水文预测中的应 用。最新模型应用包括俄罗斯教授提出的模型，三峡地区 多站洪水随机模拟等
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④一些新统计分析方法 （水文统计中未介绍的,实际上较早就有），含方差分析， 聚类分析等。
⑤水文频率计算研究进展（简单样本下随机分析） 内容有:英\美国设计洪水计算方法及其比较, 非参数估计 , 区域水文频率计算方法, 超定量法,参数估计方法比较 （权 函数法，概率权重矩法、线性矩法等）,绘点公式（经验频 率计算）,如何考虑历史洪水等.
则称X(t)为泊松过程。
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(t0,n0,1,2,)
当t1=0,t2= t，则
Pn(0,t)(nt)!net ，(t0,n0,1,2,)
t 为平均数值（随机变量） 对于这种随机过程可以在水文中描述，（0，t）时
间间隔内出现降水次数的概率。（在一段时间内接听 电话的次数也可按泊松分布）
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（欢迎选修）
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陈元芳简介
个人简况：河海大学水文水资源学院教授,博导
学习经历：河海水文水资源本科（1980-84）、硕士(84-87)和博士生(87-92)
研究方向：暴雨洪水与防洪减灾,水资源评价与管理
讲授课程：本科生:数据库,计算机语言,水文统计,随机水文学,统计试验方 法,应用统计学,工程水文学,工程水文与水利计算 研究生:水文随机分析,水利风险分析,应用统计学
F ( x 1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n ) P ( ，( t 1 n) 个 x 时1 , 刻, 的( t 联n ) 合 x 分n ) 布。
由于研究多维联合分布难度很大，因此常需要研究随机 过程的数字特征，一般到2阶即可。
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二、随机过程的概率分布与数字特征
在任意给定一个t值， 为( t随) 机变量，既然是随机变量，那 么就会有概率分布。
F (x 1 ;t1 ) P (( t1 ) x ，1 ) 对于时刻t1
F ( x 1 ,x 2 ; t 1 ,t 2 ) P (( t 1 ) x 1 ,( t 2 ，) 对x 2 于)时刻t1和t2 。
估计不同t下 ，(t()某一个时刻t仅一个数据)则无法进行， 这时如果具备历经性，则可用 代替 x 。 (t)
各年年径流随机过程
(t1 ) (t2 )
(t n)
这些资料仅有一 个样本或现实。
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以上用 x 代替 ， 满足(两t) 个条件
(t)平稳
n足够大，太小了不能反映实际， 误差大，同时满足各态历经性。
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➢随机过程的主要数字特征
1、数学期望
(t)E ((t))
2、方差( 2 )
2(t)E ((t)(t)2 )
3、自相关系数
(t1 ,t2 ) E [((t1 ) (t1 )(t1 ))
((t2 )(t2 ))] (t2 )
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➢三、 随机过程的基本分类
1、平稳过程与非平稳过程。 主要看随机过程的统计特性是否随时间变化分类。如年径 流或年降水过程在人类活动影响很小时可以认为是平稳随机 过程，但洪水过程不是平稳的。
(t)
当n=1 时， F (x 1;t1)F (x 1 k;t1 k) 不管K取何值，F (x1 k)F (x1)；任F (何x)一维分布都是用同分布。
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当n=2时， F ( x 1 ,x 2 ; t 1 ,t 2 ) F ( x 1 k ,x 2 k ; t 1 k ,t 2 k ) ,t2 t1,
程基本一致。
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（三）讲授主要内容
①随机过程基本知识： 包括随机过程概念、分类，各态历经性、平稳随机过程等。
②水文随机过程组成分析： 水文过程由几个部分组成，各种成分如何检验、鉴别及
处理等（含周期成分分析）。
③水文随机模型： 较全面介绍不同随机模型结构、定阶、参数估计，此外，
说明二元联合分布仅与这两个随机变量时间间隔 有关，与 t 1
取多少无关。而且还可以证明， (t1,t2)。()
这种平稳过程，称为严平稳过程。
由于实际上要求得多元联合分布难度很大，应该说绝大多
数情况下是不可能办到的，因此，一般只要求关心随机过程一、
二阶矩。
当 (t) c ,且 ( ，t1 ,均t2 ) 与无(关)，这时可t1 称随机过程为宽平
2、独立随机过程与非独立随机过程 主要看各时刻状态之间是否相互独立。年最大洪峰流量过 程为独立随机过程，而日流量过程则为非独立随机过程。 其中有一种特殊过程：Markov（马尔科夫过程）如AR（1） 过程，是非独立随机过程里常见的一种，实际上应用此较多。 即将来状态与现在有关，而与其前面状态毫无关系。
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（五）考核方法
笔试（开卷,30%），主要涉及课堂教学内容，有一定难度， 平时加上撰写小论文(40%)，面试（30%，？）。 超过1/3总课时缺课不能给成绩。
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第一章 随机过程基础知识
➢随机过程概念 ➢随机过程的概率分布及数字特征 ➢随机过程的基本分类 ➢平稳随机过程 ➢泊松过程
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随机过程的分类
t
离散
连续
离散型时间序列 连续型时间序列 离散型随机过程 连续型随机过程
(t )
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在研究水文随机现象时，如研究洪水过程，如果把t当作 连续的（瞬时过程），理论上讲是最好的，但这样的随机 过程建模对资料要求高，工作量很大，实际上几乎难于实 现。因此，常根据实际水文现象特性对t作离散化处理，如 对大江大河洪水过程，不要求t为连续的，而只要日平均过 程，即一年365个数据则可，经验表明：日平均过程可以近 似反映长江干流洪水。当然对中小河洪水过程，则不能用 日平均流量来反映，而应该取时段长为几个小时的平均流 量做离散化（山区河流因流量变化大则应更短，一次洪水 过程可用1、2个小时平均流量过程代替洪水过程）。
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➢随机过程概念
实际上，常遇到实验过程中随某个参变量变化而变化的 随机变量，数学上称该随机变量为随机函数。
（随机变量定义：随机事件的实数值函数，有一个基本事 件，对应一个实数值，这个实数在一次试验中能否发生， 是很难事先确定的）。
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如南京滁河某站水位或流量，它是随时间而变化的，包括 年平均流量，年最大流量，日、月平均流量或水位都是随时 间而变。再如南京日、月平均气温值也随时间而变化，当然 南京气温值还随空间位置不同而变化。换句话说，参变量不 一定总是时间，可以是其他。这些随机变量即为随机函数。
因此，2019年起普通研究生培养方案中设立本课程。 2019年全日制工程硕士学位中设置该课程。非全日制 工程硕士之前就有该课程。
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（二）课程重要性
(1)是研究水文不确定性问题的重要方法,有不少科研项目 需要用到这方面知识:如七五,八五,九五国家科技攻关项 目，全国防洪规划、水资源综合规划、水环境保护规划 等，涉及防洪风险分析,防洪效益计算,保险分析,水情中 长期预测,水文预报、水资源配置和水环境不确定性和风 险分析，汛限水位调控风险分析等。2019年国家自然科 学基金重大项目就是本方向的一个重要内容。 (2)博士生入学考试有课程<随机水文学>,其内容与本课
量过程。可以证明它是Markov过程。
②泊松过程 泊松分布：n次独立试验中A事件发生了k次
P
(k)
k e
K!
k0,1,2,
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独立增量过程X(t)，若其增量的频率分布为泊松分布
P (X (t2 ) X (t1 ) n ) [(t2 n !t1 )n] e ((t2 t1 ))，t2>t1≥0,n=0,1,2,…
成果获奖：国家级教学成果二等奖,内蒙古科技进步一等奖各一项,其他国家 省级10多项。
荣誉称号: 江苏省第四届高等学校教学名师, 江苏省优秀教育工作者 宝钢教育基金优秀教师奖。
国际交流：先后18次赴荷兰、日本、德国、巴西、澳大利亚、新西兰、冰岛等国家 进行学术交流。
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（一）课程设立背景
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例如，某站汛期[0，t]（t=30,30天内）年平均暴雨发生次 数为4.8次，即 t=4.8，这个数值完全可以根据实际观测次数系 列求平均得到，则在汛期开始30天内发生n次暴雨的概率。
Pn(0,t)
4.8n n!
e4.8