显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
a-pdf watermark af b bf a
3.4 转轴法
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w.
由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
dd
2
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形.正因为如此， 我们只须对函数 f x 作适当变形， 便可借助罗尔中值
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值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情
w.
作辅助函数
F x f x
显然，函数 F x 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，而 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 且 F a F b ． 于是由罗尔中值定理知道， 至少存在一点 a b ， 使 F ' f '
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x
.c
x f a

f b f a x a f x ba
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4
f b f a x f x ba f b f a x a f x x ba f b f a x b f x x ba
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
'
f b f a a, b 内可导；则在 a, b 内至少存在一点 ，使 f a-pdf watermark watermark a-pdf watermark ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 函数 y f x 在区间 a, b 上的图形 是连续光滑曲线弧 AB 上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦
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.c
使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
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.由罗尔中值定理知，至
等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.
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证明
开区间 a, b 内可导；3 a b
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ba f b f a f ' 0 ， 从 而 有 少 存 在 一 点 a, b ， 使 得 ' ba f b f a f ' ，显然可用其它辅助函数作类似的证明. ba
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巧解高考数学压轴题 ( 6 )
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——拉格朗日（lagrange）中值定理证明
本文主要是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总
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结. 通过这篇文章主要让大家明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面 包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会
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O, m 作 A/ B / ∥ AB 得 直 线 为 f b f a y x m， 从而利用 f x 与直
ba
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f b f a x a ，由 f x 与直线函 A' B ' 数之差构成辅助函数 x ， y ba f b f a x a . （证明略） 于是有： x f x ba
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①watermark a-pdf ② ， 从 而
Y x sin y cos x sin f x cos Y x
由 Y a Y b 得
t a n
a sin f a cos b sin f bcos

AB . 如图 2， watermark a-pdf watermark
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从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 f x 在闭区间 a, b 两
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定理导出拉格朗日中值定理. 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明
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a-Hale Waihona Puke df watermark.c
如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a, b 上连续； 2 在开区间
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罗尔（Rolle）中值定理
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在 C 点的切线平行于 x 轴，如图 1， 注意
定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定
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使得 f ' 0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.
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w.
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于是 AB 函数之差构成辅助函数 x ， 有： x f x
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f b f a x b . ba
事实上，可过 y 轴上任已知点
也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 .从 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数 f x 减去直线函数，反 过来， 用直线函数减曲线函数 f x ， 即可得与之对称的辅助函数如下： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
f b f a 0 ，即 ba
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得 ' f '
f '
f b f a ba
如图 3 过原点 O 作 OT ∥ AB ， 由 f x 与直线 OT 对应的函
， xwatermark 数之差构成辅助函数 因为直线 OT 的斜率与直线 AB 的斜率相同， watermark a-pdf a-pdf watermark
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f b f a ，取 满足上式即可.由 f x 在闭区间 a, b 上连续，在 ba
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开区间 a, b 内可导，知 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可
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证明
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作转轴变换 x X cos Y sin ， y X sin Y cos ，为求出
，解出 X , Y 得
X x cos y sin x cos f x sin X x
watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 的坐标系下 f x 满足罗尔中值定理， 由此得拉格朗日中值定理的证明.
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1
处的纵坐标相等，那么，在弧 AB 上至少有一点 C , f ，曲线
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（ 3 ） f a f b , 则 在 a, b 内 至 少 存 在 一 点 , 使 得 a, b 内 可 导 ；
f b f a f b f a 0 .即 f ' . ba ba
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3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数
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fb f a x ba
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f b f a x a x f x f a ba