学案17 含绝对值的函数
一、课前准备：
【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类：
1．形如)(x f y =的函数，由于0
)(0)()()()(<≥⎩⎨⎧-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到；
2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0<x 的情况可以根据对称性得到；
3．函数解析式中部分含有绝对值，如a x x y a x y -+=+-=2,1等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再做出图像进行研究．
【自我检测】
1．函数13-=x y 的单调增区间为 _．
2．函数x y lg =的单调减区间为_______．
3．方程a x =-1有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________．
4． 函数x
a y =在)0,(-∞上是增函数，则a 的取值范围是___________．
5．函数11++-=x x y 的值域为___________．
6．函数q px x x x f ++=)(是奇函数的充要条件是___________．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） f （a ＋1）．（填写“<”，
“＝”，“>”之一）．
（2）函数2ln -=x y 的图像与函数1=y 的图像的所有交点的横坐标之和为________．
（3）函数x y 21log =的定义域为],[b a ，值域为[0,2]，则b -a 的最小值为_______．
（4）关于函数)0(1lg )(2≠+=x x
x x f ，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②)(x f 的最小值为lg2；③)(x f 的递增区间为（-1,0）；④)(x f 没有最大值．其中正确的是_____________（把正确的命题序号都填上）．
【例2】设a 为实数，函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2
（1）若函数)(x f 是偶函数，试求a 的值；
（2）在（1）的条件下，求)(x f 的最小值．
【例3】 设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数）
（1） a =2时，讨论函数)(x f 的单调性；
（2） 若a >-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值．
三、课后作业
1．函数12+=x y 关于直线___________对称．
2．函数b a x x x f ++=||)(是奇函数，则=a ________；=b __ _．
3．关于x 的方程a x x =+-232有4个不同实数解，则a 的取值范围是__________．
4．函数2x x y -=的递减区间是_ ______．
5．函数)4(log )(2+-=x x f 的值域为__________．
6．函数x
x x x y cos cos sin sin +=的值域是___________． 7．已知01a <<，则方程|||log |x a a x =的实数解的个数是___________．
8．关于x 的方程0121=++-m x 有唯一实数解，则m 的值为___________．
9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .
10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，
且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则1234
1111x x x x +++= . 11．已知函数12)(,)(2++=-=ax x x g a x x f （a 为正常数），且函数)(x f 与)(x g 的图像在y 轴上的截距相等．
（1） 求a 的值；
（2） 求函数)(x f +)(x g 的单调递增区间．
12．已知函数2
|43|y x x =-+.
（1）研究函数的单调性；（2）求函数在[0,]t 上的值域（t>0）.
13．（已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0>a ）在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x
=． （1）求a 、b 的值；
（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若()03|
12|2|12|=--⋅+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
参考答案：
【自我检测】 1.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,31 2.)0,(-∞ 3.),0(+∞ 4.（0,1） 5.),2[+∞ 6.0=q .
课堂活动 例1.（1）< ；（2）4 ；（3）
4
3；（4）①②④ . 例2.（1）由R x x f x f ∈∀=-对)()(成立得0=a ；（2）0≥x 时，1)(2++=x x x f 是增函
数，最小值为1)0(=f ，由)(x f 是偶函数，关于y 轴对称可知，函数)(x f 在R 上的最小值为1)0(=f . 例3.（1）2=a 时，1
1222222)(222
<≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ，结合图像知，函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞，减区间为]1,(-∞；
（2）2
222)(22a
x a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2，解得a =3符合题意； 当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24
)2(2
==a a f ，无解； 综上，a =3.
课后作业 1.21-=x ； 2. 0,0； 3.)41,0(；4.),2
1[]0,21[+∞-和； 5.]2,(-∞；6.{2,0，-2}；7.2 ；8.-2; 9．()
(),30,-∞-+∞ 10．2 11.（1）1=a ；（2）减区间]21
,(--∞，增区间),2
1[+∞- 12.（1）增区间）
，和∞+3[]2,1[，减区间]3,2[]1,(和-∞； （2）10≤<t 时，值域为]3,34[2+-t t ；41≤<t ，时，值域为]3,0[；
4≥t 时，值域为]34,0[2
+-t t .
13．解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，
因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数， 故⎩
⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ． （2）由已知可得21)(-+
=x x x f ， 所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+
， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ， 因]1,1[-∈x ，故⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,21t ， 记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∈1,21t ，故()min 0h t =， 所以k 的取值范围是(],0-∞．
（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x
x ，
令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ， 0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，
其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ．
记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ① 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ②
解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．。